Описані вище результати Арістарха дають значення для всіх співвідношень діаметрів Сонця, Місяця та Землі, а також співвідношення відстаней до Сонця та Місяця. Але ніщо поки не дає нам жодного співвідношення якоїсь з цих відстаней із якимось із цих діаметрів. Його забезпечило четверте спостереження.
Спостереження 4
Кутовий розмір Місяця дорівнює 2° (див. рис. 5 г).
Оскільки в повному колі 360°, а коло, радіусом якого є dм, має окружність 2πdм, то діаметр Місяця дорівнює:
Dм = (2/360) × 2πdм = 0,035dм.
За розрахунком Арістарха значення Dм/dм лежить між 2/45 = 0,044 і 1/30 = 0,033. З невідомих причин у його працях, що дійшли до нашого часу, він сильно переоцінював справжній кутовий розмір Місяця – насправді той перекриває кут лише 0,519°, а це дає Dм/dм = 0,0090. Як ми вже зазначали в розділі 8, Архімед у своєму творі «Про підрахунок піщинок» подав значення 0,5° для кутового розміру Місяця, що є доволі близьким до справжнього значення й мало б доволі точно оцінити співвідношення діаметра Місяця та відстані до нього.
Зважаючи на результати, отримані зі спостережень 2 і 3 для співвідношення Dз/Dм діаметрів Землі та Місяця, а також результату, отриманого зі спостереження 4 для співвідношення Dм/dм діаметра Місяця та відстані до нього, Арістарх зумів знайти співвідношення відстані до Місяця та діаметра Землі. Наприклад, якщо Dз/Dм = 2,85 та Dм/dм = 0,035, це дає
(Фактичне значення становить приблизно 30.) Поєднавши цей результат із результатом спостереження 1 для співвідношення dс/dм = 19,1 відстані до Сонця й Місяця, отримаємо значення dс/Dз = 19,1 × 10,0 == 191 для співвідношення відстані до Сонця й діаметра Землі (фактичне значення становить приблизно 11 600). Вимірювання діаметра Землі було вже наступним завданням.
12. Розмір Землі
Щоб обчислити розмір Землі, Ератосфен використовував спостереження, що опівдні під час літнього сонцестояння напрямок на Сонце в Александрії відхилений на 1/50 повного кола (тобто на 360°/50 = 7,2°) від вертикального напрямку, тоді як, згідно з повідомленнями, у Сієні, місті, розташованому начебто точно на південь від Александрії, опівдні під час літнього сонцестояння Сонце стоїть прямо над головою. Оскільки Сонце розташоване дуже далеко, промені світла, що падають на Землю в Александрії та Сієні, фактично паралельні. Вертикальний напрямок у будь-якому місті є лише продовженням променя від центра Землі до цього міста, тому кут між лініями від центра Землі до Сієни та до Александрії має також дорівнювати 7,2°, або 1/50 повного кола (див. рис. 6). Отже, з огляду на припущення Ератосфена, окружність Землі має бути у 50 разів більша за відстань від Александрії до Сієни.
Рис. 6. Спостереження, яке використовував Ератосфен, щоб обчислити розмір Землі. Горизонтальні лінії, позначені стрілками, показують напрямок променів сонячного світла під час літнього сонцестояння. Пунктирні лінії позначають промені, проведені від центра Землі до Александрії та Сієни й відповідають вертикальним напрямкам у цих місцях.
Сієна розташована не на екваторі Землі, як можна було б припустити із зображення на рисунку, а радше поблизу тропіка Рака – паралелі на широті 23,5° (тобто кут між напрямками від центра Землі до будь-якої точки на тропіку Рака й до якоїсь точки на південь від екватора дорівнює 23,5°). Під час літнього сонцестояння Сонце опівдні стоїть прямо над головою на тропіку Рака, а не на екваторі, бо вісь обертання Землі не перпендикулярна площині її орбіти, а відхилена від перпендикуляра на кут 23,5°.
13. Епіцикли для внутрішніх та зовнішніх планет
У своєму «Альмаґесті» Птолемей представив теорію планет, згідно з найпростішою версією якої кожна планета рухається по колу, що називають епіциклом, навколо якоїсь точки у просторі, яка сама обертається навколо Землі по колу, що має назву деферент. Тут ми відповімо на запитання, чому ця теорія працювала так добре для пояснення видимих із Землі рухів планет. При цьому відповідь для внутрішніх планет (Меркурія та Венери) буде інша, ніж для зовнішніх планет (Марса, Юпітера та Сатурна).