Цей результат значно менший за фактичне співвідношення, яке в середньому дорівнює приблизно 60. Проблема полягала в тому, що Птолемей насправді не мав точного значення різниці ζ´ − ζ, але цей результат принаймні давав уявлення про порядок величини відстані до Місяця.
У будь-якому разі Птолемей досягнув кращого результату, ніж Арістарх, який зі значень співвідношень діаметрів Землі та Місяця й діаметра Місяця та відстані до нього вивів би, що показник співвідношення d/rз лежить між 215/9 = 23,9 і 57/4 = 14,3. Але якби Арістарх використовував правильне значення приблизно в 1/2° для кутового діаметра диска Місяця, замість свого значення 2°, то отримав би в 4 рази більше значення d/rз, тобто таке, що лежить між 57,2 і 95,6. Цей діапазон саме містить справжнє значення.
15. Синуси та хорди
Математики та астрономи античності могли б багато чого зробити за допомогою такої сучасної галузі математики, як тригонометрія, яку сьогодні викладають у багатьох навчальних закладах. Тригонометрія пояснює, як обчислити співвідношення довжин усіх сторін прямокутного трикутника, з огляду на значення будь-якого його кута (крім власне прямого кута). Так, результат ділення катета, протилежного куту, на гіпотенузу дає величину, яку називають синусом цього кута. Значення синуса кута можна знайти в математичних таблицях або за допомогою калькулятора, якщо просто набрати значення кута й натиснути кнопку «sin». (Відношення катета, прилеглого до кута, до гіпотенузи є косинусом кута, а протилежного катета до прилеглого – тангенсом цього кута, але тут нам достатньо говорити лише про синуси.) Хоч в елліністичній математиці поняття синуса жодного разу не згадане, в «Альмаґесті» Птолемей усе-таки використовує пов’язану величину, відому як хорда кута.
Щоб визначати хорду кута θ (тета), накреслімо коло з радіусом 1 (у будь-яких одиницях довжини, що здадуться вам зручними), а також проведімо два радіальні відрізки від центра до окружності з кутом θ між ними. Хордою кута є довжина відрізка, або хорди, що з’єднує точки, де дві радіальні лінії перетинають окружність (див. рис. 9). В «Альмаґесті» подано таблицю хорд у вавилонській шістдесятковій системі числення з кутами, вираженими у градусах дуги, що йдуть від 1/2° до 180°. Наприклад, хорду 45° подано як 45 15 19, або, у сучасній (десятковій) системі числення,
тоді як справжнє значення становить 0,7653669…
Хорда має цілком природне застосування в астрономії. Якщо уявити, що зірки лежать на сфері з радіусом, що дорівнює 1, центром якої є центр Землі, то якщо лінії прямої видимості до двох зірок розділені кутом θ, видима відстань по прямій між цими зірками й буде хордою θ.
Рис. 9. Хорда кута θ. Коло тут має радіус, що дорівнює 1. Суцільні радіальні відрізки утворюють кут θ у центрі кола; горизонтальний відрізок, що проходить між точками перетину радіальних відрізків із колом, – хорда, а її довжина – це хорда кута θ.
Щоб зрозуміти, яке відношення ці хорди мають до тригонометрії, повернімося до рисунка, використаного, щоб визначити хорду кута θ, і проведімо відрізок (на рис. 9 – пунктирна лінія) від центра кола, який ділить хорду рівно надвоє. При цьому ми отримуємо два прямокутні трикутники, кожен із кутом при центрі кола, що дорівнює θ/2, та протилежною цьому куту стороною, довжина якої дорівнює половині хорди. Гіпотенуза кожного з цих трикутників є радіусом кола, який ми беремо як 1, тому синус кута θ/2 – у системі математичних позначень sin(θ/2) – дорівнює половині хорди θ, або:
хорда θ = 2sin(θ/2).
Отже, будь-яке обчислення, яке можна виконати за допомогою синусів, можна виконати і за допомогою хорд, хоча здебільшого воно менш зручне.
16. Горизонти
Зазвичай роздивитися навкруги на вулиці нам заважають навколишні дерева, будинки або якісь інші перепони. З вершини гори ясної днини можна побачити значно далі, але наше поле зору все ще обмежене горизонтом, за яким лінії прямої видимості закриває сама Земля. Давньоарабський астроном аль-Біруні описав розумний метод використання цього знайомого всім явища для вимірювання радіуса Землі, знаючи при цьому тільки одну відстань – висоту гори.
Рис. 10. Використання аль-Біруні горизонтів для вимірювання розміру Землі. O – спостерігач на горі заввишки h; H – горизонт, як його бачить цей спостерігач; відрізок від H до O – дотична до земної поверхні в точці H, а тому утворює прямий кут із відрізком від центра Землі C до H.