18. Еліпси
Еліпс – це певний різновид замкненої кривої на плоскій поверхні. Є як мінімум три різні способи чітко описати таку криву.
Визначення перше
Еліпс – це набір точок на площині, який задовольняє умови рівняння:
де x – відстань від центра еліпса будь-якої точки на еліпсі вздовж однієї осі, y – відстань від центра до тієї самої точки вздовж осі, перпендикулярної першій, а а і b – додатні числа, що характеризують розмір та форму еліпса, вибрані так, що а ≥ b. Для чіткості опису зручно уявляти собі вісь x горизонтальною, а вісь y вертикальною, хоча, звісно, вони можуть пролягати в будь-яких двох взаємно перпендикулярних напрямках. З рівняння (1) випливає, що відстань
Рис. 12. Елементи еліпса. Позначені точки всередині еліпса – це два її фокуси; а і b – це велика та мала піввісі еліпса; а ea – відстань від кожного фокуса до центра еліпса. Сума довжин r+ та r– двох ліній від фокусів до точки P – дорівнює 2a незалежно від положення P на еліпсі. Зображений тут еліпс має еліптичність e = 0,8.
тому для будь-якої точки на еліпсі справедливо:
b ≤ r ≤ a (2)
Зверніть увагу, що там, де еліпс перетинає горизонтальну вісь, ми маємо y = 0, тому x2 = a2, а отже, x = ±a. Отже, рівняння (1) описує еліпс, довгий діаметр якого проходить від −a до +a в горизонтальному напрямку. Крім того, там, де еліпс перетинає вертикальну вісь, ми маємо x = 0, тому y2 = b2, а отже, y = ±b, а з цього випливає, що рівняння (1) описує еліпс, короткий діаметр якого проходить у вертикальному напрямку від −b до +b (див. рис. 12). Параметр а називають великою піввіссю еліпса. Ексцентриситет еліпса зручно визначити як
У загальному випадку ексцентриситет має значення між 0 та 1. Еліпс з e = 0 є колом з радіусом а = b. Еліпс з e = 1 такий сплющений, що є лише відрізком горизонтальної осі з y = 0.
Визначення друге
Згідно з іншим класичним визначенням, еліпс – це множина точок на площині, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок (фокусів еліпса) постійна. Для еліпса, визначеного рівнянням (1), ці дві точки мають координати x = ±ea, y = 0, де e – ексцентриситет, визначений тотожністю (3). Відстані від цих двох точок до якоїсь точки на еліпсі з координатами x та y, що задовольняють умови рівняння (1), дорівнюють:
тому їхня сума фактично стала:
Це можна вважати узагальненням класичного визначення кола, як множини точок, які всі розташовані на однаковій відстані від однієї-єдиної точки.
Оскільки обидва фокуси еліпса повністю симетричні, середні відстані r+ та r– до точок на еліпсі (з тим, що кожному лінійному сегменту заданої довжини на еліпсі задано в середньому рівну вагу) від цих двох фокусів мають бути рівні: r+ = r–, а отже, рівняння (5) дає нам
Це є також середнім значенням найбільшої та найменшої відстаней точок на еліпсі від будь-якого фокуса:
Визначення третє
Оригінальне визначення еліпса Аполлонія Перзького полягає в тому, що це – конічний переріз, утворюваний перетинанням якогось конуса площиною під нахилом до осі цього конуса. Говорячи мовою сучасної математики, конус із його вертикальною віссю є множиною точок у трьох вимірах, яка задовольняє таку умову: радіуси круглих поперечних перерізів конуса пропорційні відстані у вертикальному напрямку: