де u та y – відстані, взяті у двох взаємно перпендикулярних горизонтальних напрямках, z – відстань, взята у вертикальному напрямку, а α (альфа) є додатним числом, що визначає форму конуса (причина, з якої ми використовуємо u замість x для однієї з горизонтальних координат, стане зрозумілою трохи згодом). Вершина цього конуса, де u = y = 0, розташована в z = 0. Площину, що перерізає цей конус під певним кутом, можна визначити як множину точок, яка задовольняє таку умову:
де β (бета) та γ (гамма) – два числа, що визначають кут нахилу та висоту розташування площини відповідно (ми визначаємо координати так, щоб площина була паралельна осі y). Поєднання рівняння (9) із квадратом рівняння (8) дає нам:
u2 + y2 = α2(βu + γ)2,
або еквівалентне
Це визначення еквівалентне рівнянню (1), якщо ми визначимо, що:
Зверніть увагу, що це дає нам e = αβ, тому ексцентриситет залежить від форми конуса та нахилу площини, що перерізає цей конус, але не від висоти, на якій розташована ця площина.
19. Елонгації й орбіти внутрішніх планет
Одним із видатних досягнень Коперника стало обчислення значень відносних розмірів планетних орбіт. Зокрема, простим прикладом є обчислення радіусів орбіт внутрішніх планет за максимальною видимою відстанню цих планет від Сонця.
Рис. 13. Положення Землі та внутрішньої планети (Меркурія чи Венери) в момент, коли планета перебуває на максимальній видимій відстані від Сонця. Кола – це орбіти Землі та планети.
Розгляньмо орбіту однієї із внутрішніх планет (Меркурія чи Венери), припускаючи, що ця орбіта та орбіта Землі є колами із Сонцем у центрі. У момент, який називають максимальною елонгацією, планету видно на найбільшій кутовій відстані θmax (тетаmax) від Сонця. У цей час пряма, на якій лежить відрізок, що з’єднує Землю з цією планетою, дотична до орбіти планети, тому кут між цим відрізком та відрізком від Сонця до планети прямий. Отже, ці два відрізки та відрізок від Сонця до Землі утворюють прямокутний трикутник (див. рис. 13). Гіпотенузою цього трикутника є відрізок між Землею та Сонцем, тому співвідношення відстані між планетою та Сонцем rп і відстані Землі від Сонця rз дорівнює синусу θmax. Нижче подана таблиця кутів максимальної елонгації, їхніх синусів, а також фактичних радіусів орбіт Меркурія та Венери rп в одиницях радіуса орбіти Землі rз:
Невелика різниця між синусом θmax та спостережуваними співвідношеннями rп/rз радіусів орбіт внутрішніх планет і Землі є наслідком відхилення форм цих орбіт від ідеальних кіл із Сонцем у центрі, а також того факту, що ці орбіти розташовані не точно в одній площині.
20. Добовий паралакс
Розгляньмо «нову зірку» чи якийсь інший об’єкт, що або перебуває у стані спокою відносно нерухомих зірок, або зміщується дуже мало відносно цих зірок упродовж дня. Припустімо, що цей об’єкт перебуває значно ближче до Землі, ніж зірки. Можна припустити, що Земля робить один оберт на добу навколо своєї осі зі сходу на захід або що цей об’єкт та зірки обертаються навколо Землі протягом дня із заходу на схід, – у будь-якому разі, оскільки ми бачимо цей об’єкт у різних напрямках в різний час ночі, його положення, схоже, зміщуватиметься відносно зірок щовечора. Це називають добовим паралаксом об’єкта. Вимірювання добового паралакса дає змогу визначити відстань до об’єкта або, якщо виявиться, що цей добовий паралакс замалий для вимірювання, воно дає хоча б нижню межу цієї відстані.
Щоб обчислити величину такого кутового зміщення, розгляньмо видиме положення об’єкта щодо зірок, яке спостерігають з нерухомої обсерваторії на Землі в момент, коли цей об’єкт тільки-но сходить над горизонтом, а також коли він розташований найвище в небі. Щоб полегшити ці обчислення, розгляньмо випадок, найпростіший у геометричному плані: обсерваторія розташована на екваторі, а об’єкт – у тій самій площині, що й екватор. Звісно, це не дає нам точного добового паралакса нової зірки, як і у спостереженні Тіхо Браге, але вказує на порядок величини цього паралакса.