24. Гори на Місяці
Світлий та темний боки Місяця розділяє лінія, що має назву термінатор, де сонячні промені проходять по дотичній до місячної поверхні. Коли Ґалілей спостерігав Місяць у телескоп, він помітив на темному боці Місяця поблизу термінатора яскраві плями, і потлумачив їх як світло, що відбивається від гір, достатньо високих, щоб спіймати сонячні промені, що надходять з іншого боку термінатора. Він зумів вирахувати висоту цих гір за допомогою геометричної побудови, аналогічній тій, яку використовував аль-Біруні, щоб вимірювати розмір Землі. Накреслімо трикутник, вершинами якого є центр Місяця C, вершина гори M на темному боці Місяця, що саме ловить промінь сонячного світла, а також точка T на термінаторі, де цей промінь торкається поверхні Місяця (див. рис. 18). Це буде прямокутний трикутник; відрізок TM лежатиме на дотичній до поверхні Місяця в точці T, тому він має бути перпендикулярний відрізку CT. Довжина CT дорівнює радіусу Місяця r, а довжина TM дорівнює відстані гори від термінатора d. Якщо гора має висоту h, тоді довжина CM (гіпотенуза трикутника) дорівнює r + h. Згідно з теоремою Піфагора, отримуємо:
(r + h)2 = r2 + d2,
а отже,
d2 = (r + h)2 − r2 = 2rh + h2.
Оскільки висота будь-якої гори на Місяці значно менша за розмір Місяця, ми можемо знехтувати h2 і враховувати лише 2rh. Ділення обох сторін рівняння на 2r2 дає:
Отже, обчислюючи відношення видимої відстані вершини гори від термінатора до видимого радіуса Місяця, Ґалілей зумів обчислити відношення висоти гори до радіуса Місяця.
Рис. 18. Вимірювання Ґалілеєм висоти гір на Місяці. Горизонтальна лінія, позначена стрілкою, вказує на промінь світла, що торкається Місяця в точці T термінатора, де проходить межа між освітленою та неосвітленою частинами Місяця, а потім падає на вершину M гори висотою h, розташованої на відстані d від термінатора.
У «Зоряному віснику» Ґалілей повідомляв, що іноді бачив яскраві плями на неосвітленому боці Місяця на видимій відстані від термінатора, більшій за 1/20 видимого діаметра Місяця, тому для цих гір d/r > 1/10, а отже, за поданою вище формулою h/r > (1/10)2/2 = 1/200. Ґалілей оцінив радіус Місяця в 1 000 миль[72], тож ці гори мали б бути щонайменше 5 миль заввишки (з незрозумілих причин Ґалілей навів цифру в 4 милі, але оскільки він намагався лише встановити нижню межу висоти гір, то, імовірно, просто перестрахувався). Ґалілей вважав, що місячні гори вищі за будь-які гори на Землі, але тепер ми знаємо, що на Землі є гори заввишки майже 6 миль, тож спостереження Ґалілея показали, що за висотою місячні гори не дуже відрізняються від земних.
25. Гравітаційне прискорення
Ґалілей показав, що тіло, падаючи, зазнає рівномірного прискорення, тобто його швидкість зростає на одну й ту саму величину за кожен рівний проміжок часу. Говорячи сучасною мовою, тіло, що падає зі стану спокою, після часу t, який мине з моменту початку падіння, матиме швидкість υ, пропорційну t:
υ = gt,
де g – стала, що характеризує гравітаційне поле поблизу поверхні Землі. Хоч g дещо відрізняється в різних точках земної поверхні, вона ніколи сильно не відхиляється від значення 32 футів на секунду у квадраті, або 9,8 м/с2.
Згідно з теоремою про середній градус швидкості, відстань, яку подолає тіло, що падає зі стану спокою, за час t, дорівнює υсерt, де υсер – середнє арифметичне між gt та нулем; іншими словами, υсер = gt/2. Отже, пройдена відстань дорівнює:
Зокрема, за першу секунду тіло падає на відстань g (1 секунда)2/2 == 16 футів (4,9 м). Час, потрібний для падіння тіла на відстань d, у загальному випадку дорівнює: