Є й інший, сучасніший погляд на цей результат. Енергія тіла, що падає, дорівнює сумі його кінетичної та потенційної енергії. Кінетична енергія дорівнює:
де m – маса тіла. Потенційна енергія дорівнює добутку mg на висоту (виміряну відносно будь-якого вибраного рівня). Тому якщо тіло починає падіння зі стану спокою з початкової висоти h0 і проходить відстань d, то:
Eпот = mgh = mg(h0 – d).
Отже, оскільки d = gt2/2, загальна енергія є сталою величиною:
E = Eкін + Eпот = mgh0.
Ми можемо розвернути це навпаки й вивести співвідношення між швидкістю та пройденою відстанню, припускаючи збереження енергії. Якщо ми приймемо, що E дорівнює mgh0 в момент t = 0, коли υ = 0, а h = h0, то з огляду на збереження енергії в будь-який проміжок часу матимемо:
з чого випливає, що υ2/2 = gd. Оскільки υ – це швидкість збільшення d, це є диференціальним рівнянням, що визначає зв’язок між d і t. Звичайно, ми знаємо розв’язок цього рівняння: d = gt2/2, при чому υ = gt. Тому, використовуючи закон збереження енергії, ми можемо отримати такі самі результати, не знаючи наперед, що прискорення рівномірне.
Це є елементарним прикладом закону збереження енергії, що робить поняття енергії корисним у широкому різноманітті контекстів. Зокрема, закон збереження енергії демонструє важливість експериментів Ґалілея з кульками, що котилися донизу похилими площинами, для розв’язання задачі про вільне падіння, хоча сам Ґалілей цей аргумент не використовував. Для кульки масою m, що котиться донизу похилою площиною, кінетична енергія дорівнює mυ2/2, де υ – швидкість уздовж цієї площини, а потенційна енергія дорівнює mgh, де h – знову висота. На додачу там є ще енергія обертання кульки, яку можна виразити так:
Еоберт
де r – радіус кульки, ν (ню) – кількість повних обертів кульки на секунду, а ζ (дзета) – величина, що залежить від форми кульки та розподілу маси всередині неї. У випадку суцільної однорідної кульки, яку, ймовірно, використовував у своїх експериментах Ґалілей, ζ = 2/5 (для порожнистої кульки ζ = 2/3.) Коли кулька робить один повний оберт, вона проходить відстань, що дорівнює її окружності 2πr, тому за час t, за який вона робить νt обертів, вона проходить відстань d = 2πrνt, а отже, її швидкість дорівнює d/t = 2πνr. Використовуючи це у формулі для енергії обертання, отримаємо:
Еоберт
Поділивши це на m та на 1 + ζ, з огляду на закон збереження енергії отримаємо:
Це така сама залежність між швидкістю та пройденою відстанню d = h0 – h, що має бути збережена для тіла, що падає вільно, крім того, що g замінене на g/(1 + ζ). Не беручи до уваги цієї заміни, бачимо, що залежність швидкості кульки, що котиться донизу похилою площиною, від пройденої вертикальної відстані така сама, як і для тіла у вільному падінні. Отже, вивчаючи кульки, що котяться донизу похилими площинами, ми можемо довести, що тіла у вільному падінні рухаються з рівномірним прискоренням. Однак такий розрахунок не дає змоги виміряти прискорення, якщо тільки не брати до уваги множник 1/(1 + ζ).
Унаслідок складних доведень Гюйґенс зумів показати, що час, потрібний маятнику довжиною L для коливання під невеличким кутом з одного боку до іншого, дорівнює:
τ = π
Тобто Гюйгенс показав, що цей час дорівнює π, помноженому на час, потрібний для падіння тіла на відстань d = L/2.
26. Параболічні траєкторії
Припустімо, що якийсь предмет вистрілили горизонтально зі швидкістю υ. Нехтуючи опором повітря, він продовжуватиме летіти горизонтально з однаковою швидкістю, але водночас прискорюватиметься донизу. Отже, за час t він подолає горизонтальну відстань x = υt та вертикальну відстань z, пропорційну квадрату часу, тобто z = gt2/2, де g = 9,8 м/с2 (стала, яку вже після смерті Ґалілея виміряв Гюйґенс). Враховуючи, що t = x/υ, маємо: