Як показав Ферма, коли світло переходить із середовища, де його швидкість дорівнює vA, в інше середовище, де його швидкість дорівнює vB, показник заломлення n насправді дорівнює vA/vB, а не vB/vA. Декарт не знав, що світло рухається зі скінченною швидкістю, і запропонував непереконливе пояснення, чому n більше за одиницю, якщо А – це повітря, а B – вода. Для уявлень XVII століття, як-от теорія райдуги Декарта, це не мало значення, бо показник заломлення n вважали незалежним від кута падіння (що справедливо для світла, хоч і не для тенісних м’ячиків), а його значення брали зі спостережень заломлення, а не отримували з вимірювань швидкості світла в різноманітних середовищах.
28. Виведення закону заломлення світла з принципу найменшого часу
Герон Александрійський вивів закону відбиття світла (кут відбиття дорівнює куту падіння), припустивши, що шлях променя світла від об’єкта до дзеркала, а потім до ока якомога коротший. Він міг би так само припустити, що якомога коротшим є час, за який промінь світла долає цей шлях, оскільки час проходження світлом будь-якої відстані дорівнює цій відстані, поділеній на швидкість світла, а під час відбиття швидкість світла не змінюється. З другого боку, заломлення променя світла відбувається, коли він проходить межу між середовищами (наприклад, між повітрям та склом), у яких швидкість світла різна, тож ми маємо розрізняти принципи найменшої відстані та найменшого часу. Лише з того факту, що промінь світла змінює напрям, коли переходить з одного середовища до іншого, ми знаємо, що заломлене світло не йде шляхом найменшої відстані, яким була б пряма. Радше, як показав Ферма, правильний закон заломлення світла можна вивести з припущення, що світло витрачає на шлях якнайменший час.
Щоб продовжити це виведення, припустімо, що промінь світла рухається від точки PА в середовищі А, у якому швидкість світла становить vA, до точки PB у середовищі B, у якому швидкість світла дорівнює vB. Щоб спростити опис, припустімо, що поверхня, яка розділяє ці два середовища, горизонтальна. Позначмо кути між променями світла в середовищах А і B та вертикальним напрямком i та r відповідно. Якщо точки PА та PB розташовані на вертикальних відстанях dА та dB від граничної поверхні, то горизонтальні відстані цих точок від точки, де промені перетинають цю поверхню, дорівнюють dА tgi та dB tgr відповідно, де символ tg позначає тангенс кута – відношення довжини протилежного катета до прилеглого у прямокутному трикутнику (див. рис. 21). Хоч ці відстані не зафіксовані наперед, їхня сума фіксована й дорівнює горизонтальній відстані L між точками PА та PB:
L = dАt tgi + dBt tgr.
Щоб обчислити час t, витрачений світлом на подолання шляху від PА до PB, зауважмо, що пройдені променем відстані в середовищах А і B дорівнюють dА/cosi та dB/cosr відповідно, де «cos» позначає косинус кута – відношення прилеглого катета до гіпотенузи у прямокутному трикутнику. Витрачений час дорівнює відстані, поділеній на швидкість, тому загальний витрачений час тут дорівнює:
Нам потрібно знайти загальне співвідношення між кутами i та r (що не залежить від L, dА та dB), яке задовольняє такий кут i, за якого час t мінімальний, а r залежить від i так, щоб L залишалася фіксованою. Для цього розгляньмо δi – нескінченно малу зміну δ (дельта) кута падіння i. Горизонтальна відстань між точками PА та PB фіксована, тому коли i змінюється на величину δi, кут заломлення r має також змінюватися, скажімо, на величину δr, за умови, що L незмінна. Крім того, у точці мінімуму графік t залежно від i повинен бути горизонтальний, бо якщо t збільшується або зменшується за якогось i, цей мінімум має відповідати якомусь іншому значенню i, де t менший. Це означає, що зміна t, спричинена мізерно малою зміною δi, має зникнути, хоча б до першого порядку величини δi. Тому, щоб знайти шлях, на подолання якого променю світла знадобиться найменше часу, ми можемо визнати умову, що в разі зміни обох кутів i та r зміни δL та δt мають зникнути хоча б до першого порядку δi та δr.