Рис. 21. Шлях заломлюваного променя світла. Горизонтальна лінія позначає поверхню, що розділяє два прозорі середовища А і B, у яких світло має різні швидкості vA та vB, а кути i та r вимірюють між променем світла та пунктирною вертикальною лінією, перпендикулярною до поверхні, що розділяє середовища. Суцільна лінія зі стрілками позначає шлях променя світла, що рухається від точки PА в середовищі А до точки P на межі середовищ, а потім до точки PB у середовищі B.
Щоб задовольнити цю умову, нам потрібні стандартні формули диференціального числення для зміни δtgθ (тета) та δ(1/cosθ), коли ми змінюємо кут θ на нескінченно малу величину δθ:
де R = 360°/2π = 57,293…°, якщо θ вимірюють у градусах (цей кут розміром в 1 радіан. Якщо θ вимірюють в радіанах, тоді R = 1). Використовуючи ці формули, ми знаходимо зміни L і t, коли змінюємо кути i та r на нескінченно малі величини δi та δr:
Визнана нами умова, що δL = 0, говорить, що:
тому
Щоб цей вираз дорівнював нулю, потрібно, щоб
або, інакше кажучи,
де показник заломлення n є співвідношенням швидкостей, заданим незалежно від кутів:
n = vА/vB.
Це і є істинним законом заломлення світла з правильною формулою для n.
29. Теорія райдуги
Припустімо, що промінь світла потрапляє до сферичної дощової краплини в якійсь точці P, утворюючи кут i з перпендикуляром до поверхні краплини в цій точці. Якби там не відбувалося заломлення, цей промінь світла продовжив би рухатися по прямій крізь краплину. У такому разі відрізок від центра краплини C до точки Q максимального наближення променя до центра утворив би прямий кут із променем світла, тому трикутник PCQ був би прямокутним із гіпотенузою, що дорівнює радіусу R краплі, та кутом у точці P, що дорівнює i (див. рис. 22a). Нехай прицільний параметр b буде відстанню максимального наближення незаломленого променя до центра, тобто довжиною сторони трикутника CQ, заданою за правилами елементарної тригонометрії:
b = R sini.
Ми можемо однаково добре схарактеризувати окремі промені світла за відношенням b/R, як це робив Декарт, або ж за значенням кута падіння i.
Насправді ж через заломлення промінь входитиме до краплі під кутом r до перпендикуляра до поверхні, заданим законом заломлення:
де n = 4/3 є відношенням швидкості світла в повітрі до його швидкості у воді. Промінь пройде крізь краплю й досягне її задньої поверхні у точці P´. Оскільки відстані від центра краплі C до точок P та до P´ однакові й дорівнюють радіусу R краплі, то трикутник із вершинами C, P та P´ рівнобедрений, тому кути між променем світла та перпендикулярами до поверхні краплі в точках P та P´ рівні й обидва дорівнюють r. Частина світла відбиватиметься від задньої поверхні краплі, і, за законом відбиття, кут між відбитим променем та перпендикуляром до поверхні в точці P´ також дорівнюватиме r. Відбитий промінь перетинатиме краплю й ударятиме в її передню поверхню в точці P´´, знову утворюючи кут r з перпендикуляром до поверхні в P´´. Частина світла тоді виходитиме з краплини, і, за законом заломлення, кут між променем, що виходить, та перпендикуляром до поверхні в P´´ дорівнюватиме первинному куту падіння i (див. рис. 22б, що демонструє шлях променя світла у площині, на якій лежать сам промінь, центр краплі та спостерігача. Лише ті промені, що стикаються з поверхнею краплини там, де вона перетинає цю площину, мають шанс досягти спостерігача).