Під час усіх цих відбиттів промінь світла відхилятиметься до центра краплі на кут i – r двічі – входячи до краплини й виходячи з неї, а також на кут 180° − 2r, відбиваючись від задньої поверхні краплі, а отже, загальний кут відхилення променя становить:
2(i − r) + 180° − 2r = 180° − 4r + 2i.
Якби промінь світла відбивався від краплини назад у напрямі, протилежному напряму входу (тобто у випадку, коли i = r = 0), то цей кут дорівнював би 180°, а початкові та кінцеві напрямки променя світла були б паралельні, тому фактичний кут φ (фі) між початковими та кінцевими напрямками променями світла дорівнює:
φ = 4r – 2i.
Ми можемо виразити r, залежну від i:
де для будь-якого x значення arcsin x дорівнює куту (зазвичай взятому між −90° і +90°), синус якого дорівнює x. Розрахунки для n = 4/3, подані в розділі 13, демонструють, що φ зростає від нуля за i = 0 до максимального значення приблизно в 42°, а потім падає приблизно до 14° за i = 90°. Графік φ залежно від i горизонтальний у його максимумі, тому світло має тенденцію виходити з краплини під кутом заломлення φ, близьким до 42°.
Рис. 22. Шлях променя сонячного світла у сферичній краплі води. Промінь зображений суцільними лініями зі стрілками: він входить до краплини в точці P, де утворює кут i з перпендикуляром до поверхні; a) шлях променя, якби заломлення не відбувалося, де Q – точка максимального наближення променя до центра краплини C; б) промінь заломлюється на вході до краплини в точці P, відбивається від задньої поверхні краплини в точці P´, а потім заломлюється знову на виході з краплини в Pʺ. Пунктирні лінії з’єднують центр краплини C з точками, де промінь зустрічається з поверхнею краплини.
Якщо поглянути в туманне небо, ставши до Сонця спиною, ми побачимо світло, відбите назад, під кутом між лінією нашої прямої видимості та променями, що йдуть від сонця, що дорівнює приблизно 42°. Ці напрямки утворюють дугу, яку зазвичай ми бачимо такою, що йде від земної поверхні вгору до неба, а потім знову вниз до поверхні. Оскільки n трохи залежить від кольору світла, кути заломлення φ для різних кольорів будуть різні, тому ця дуга розбивається на різні кольори. Це і є райдуга.
Нескладно вивести аналітичну формулу, що дає нам максимальне значення φ для будь-якого значення показника заломлення n. Щоб знайти максимум φ, зауважмо той факт, що цей максимум відповідає такому куту падіння i, за якого графік φ залежно від i горизонтальний, тож зміна δφ (дельта фі) кута φ, породжена мізерно малою зміною δi кута i, зникає до першого порядку δi. Щоб використати цю умову, ми застосуємо стандартну формулу диференціального числення, згідно з якою в разі зміни δx аргументу x, зміна arcsinx дорівнює:
де R = 360°/2π, якщо arcsinx вимірюють у градусах. Отже, коли кут падіння змінюється на величину δi, то кут заломлення змінюється на таку величину:
або, оскільки δ sini = cosi δi/R,
Отже, умова для максимуму φ така, що:
Піднісши обидві частини рівняння до квадрата та використовуючи формулу cos2i = 1 − sin2i (що випливає з теореми Піфагора), можемо знайти значення sini:
За такого значення кута падіння φ набуває свого максимального значення:
За n = 4/3 максимальне значення φ досягають за b/R = sini = 0,86, для якого i = 59,4°, r = 40,2°, а φmax = 42,0°.