а отже,
Це і є формула Гюйґенса для доцентрового прискорення.
33. Порівняння Місяця з тілом, що падає
За часів античності вчені припускали, що між явищами в небесах та на Землі є якась відмінність. Ньютон рішуче кинув виклик цьому припущенню, порівнюючи доцентрове прискорення Місяця на його орбіті з прискоренням донизу тіла, що падає, поблизу поверхні Землі.
З вимірювань добового паралакса за ньютонівських часів було точно відомо, що середня відстань Місяця від Землі в 60 разів більша за радіус Землі (фактичне співвідношення становить 60,27). Щоб обчислити радіус Землі, Ньютон взяв 1´ (мінуту дуги) на екваторі за милю довжиною в 5 000 футів (1 524 м), тож для повного кола 360°, де в одному градусі 60´, радіус Землі дорівнює:
Насправді середній радіус Землі становить 6 371 000 м. Ця різниця стала найбільшим джерелом помилки в обчисленнях Ньютона. Було точно відомо, що орбітальний період Місяця (сидеричний місяць) становить 27,3 доби, або 2 360 000 секунд. Тоді швидкість Місяця на його орбіті становить:
Це дає таке доцентрове прискорення:
Згідно із законом обернених квадратів, це число має дорівнювати прискоренню тіл, що падають, на поверхні Землі, 9,8 м/с2, поділеному на квадрат відношення радіуса орбіти Місяця до радіуса Землі:
Саме на це порівняння «спостережуваного» доцентрового прискорення Місяця в розмірі 0,0022 м/с2 зі значенням, отриманим із закону обернених квадратів 0,0027 м/с2, посилався Ньютон, коли казав, що ці значення «доволі близькі». Пізніше він отримав кращий результат.
34. Закон збереження імпульсу
Припустімо, два рухомі об’єкти з масами m1 та m2 зіштовхуються один з одним. Якщо в якийсь короткий часовий проміжок δt (дельта t) об’єкт 1 діє із силою F на об’єкт 2, то в цей часовий проміжок об’єкт 2 зазнаватиме прискорення a2, яке, згідно з другим законом Ньютона, відповідає співвідношенню m2a2 = F. Його швидкість v2 змінюватиметься при цьому на таку величину:
δv2 = a2 δt = F δt/m2.
Згідно із третім законом Ньютона, об’єкт 2 діятиме на об’єкт 1 із силою −F, рівною за величиною, але (що позначено знаком мінус) протилежною за напрямком, тому в той самий часовий проміжок швидкість v1 об’єкта 1 зміниться в напрямку, протилежному δv2, на величину:
δv1 = a1 δt = −F δt/m1.
Сумарна зміна загального імпульсу m1v1 + m2v2 дорівнює тоді:
m1δv1 + m2δv2= 0.
Звичайно, два об’єкти можуть контактувати впродовж тривалішого періоду, протягом якого сила може не бути постійною, але оскільки загальний імпульс зберігається в кожен короткий проміжок часу, він зберігатиметься впродовж усього періоду контакту.
35. Маси планет
За часів Ньютона було відомо, що супутники є в чотирьох тіл у Сонячній системі: свої Місяці мають Юпітер, Сатурн і Земля, а всі планети є супутниками Сонця. Згідно із законом всесвітнього тяжіння Ньютона, тіло масою M діє на супутник масою m на відстані r із силою F = GMm/r2 (де G – гравітаційна стала). Тому, згідно із другим законом Ньютона, доцентрове прискорення супутника становитиме a = F/m = GM/r2. Значення сталої G та загальний масштаб Сонячної системи за часів Ньютона були невідомі, але ці невідомі величини не використовують у співвідношеннях мас, обчислюваних зі співвідношень відстаней та співвідношень доцентрових прискорень. Якщо два супутники тіл із масами M1 та M2 перебувають на певних відстанях від цих тіл, співвідношення яких r1/r2 відоме, і мають доцентрові прискорення з відомим їхнім співвідношенням a1/a2, то співвідношення мас можна знайти за формулою:
Зокрема, для супутника, що рухається з постійною швидкістю v по круговій орбіті радіусом r, орбітальний період дорівнює T = 2πr/v, тому доцентрове прискорення v2/r цього супутника дорівнює a = 4π2r/T2, співвідношення прискорень двох супутників дорівнює a1/a2 = (r1/r2) / (T2/T1)2, а співвідношення мас, виведене з орбітальних періодів та співвідношень відстаней, дорівнює: