Декарт блискуче доповнив закон заломлення: у своїй «Метеорології» він скористався відношенням між кутами падіння та заломлення, щоб пояснити райдугу. У цьому Декарт як науковець показав себе з найкращого боку. Арістотель стверджував, що кольори райдуги виникають через відбиття світла дрібними частинками вологи, що висять у повітрі6. Крім того, як ми вже бачили в розділах 9 та 10, за часів Середньовіччя аль-Фарісі та Дітріх Фрайбурзький усвідомлювали, що райдуги є наслідком заломлення променів світла у краплях дощу, що висять у повітрі. Але ніхто до Декарта не надавав детального кількісного опису того, як це працює.
Декарт першим провів експеримент, використовуючи як модель дощової краплини наповнену водою тонкостінну скляну сферу. Він помітив, що, коли промені сонячного світла входили в цю кулю з різних напрямків, світло, що виходило під кутом приблизно 42° до напрямку падіння, було «геть червоне й незрівнянно яскравіше за решту променів». Декарт дійшов висновку, що райдуга (або принаймні її червоний край) описує в небі дугу, для якої кут між лінією прямої видимості до райдуги та напрямком від райдуги до Сонця становить приблизно 42°. Декарт припустив, що промені світла заломлюються, коли входять у краплю, відбиваються від її задньої поверхні, а потім заломлюються знову, коли виходять з краплі назад у повітря. Але чим пояснити таку властивість краплин дощу посилати світло назад переважно під кутом приблизно 42° до напрямку падіння?
Щоб відповісти на це запитання, Декарт розглянув промені світла, що входять до сферичної краплі води вздовж 10 різних паралельних ліній. Він позначив ці промені тим, що сьогодні називають їхнім прицільним параметром b, тобто найближчою відстанню від центра краплі до променя, якби він проходив прямо крізь краплину, не заломлюючись. Перший промінь був вибраний так, що, якби не заломлення, він проминув би центр краплини на відстані, яка дорівнює 10 % радіуса краплини R (тобто з b = 0,1 R), тоді як десятий промінь був вибраний так, щоб лише злегка зачепити поверхню краплини (тобто з b = R), при цьому проміжні промені були рівномірно розподілені між цими двома. Декарт описав шлях кожного променя: як той заломлювався, входячи до краплини, відбивався задньою поверхнею краплини, а потім заломлювався знову, виходячи з краплини, – спираючись на закон рівності кутів відбиття Евкліда та Герона, а також на свій власний закон заломлення й беручи показник заломлення n води як 4⁄3. У таблиці нижче подані значення, які Декарт знайшов для кута φ (фі) між променем, що виходить із краплі, та напрямком його падіння для кожного променя, разом із результатами мого власного перерахунку з використанням того самого показника заломлення:
Неточність деяких результатів Декарта можна пояснити обмеженими математичними засобами, приступними в його час. Не знаю, чи міг він користуватися таблицею синусів, але він точно не мав нічого схожого на сучасний кишеньковий калькулятор. Однак результати Декарта були б кращі, якби він подав їх з точністю до 10 мінут дуги, а не до мінути.
Як помітив Декарт, є відносно широкий діапазон значень прицільного параметра b, для якого кут φ близький до 40°. Після цього він повторив обчислення для 18 менш рознесених променів зі значеннями b від 80 до 100 % радіуса краплі, де φ становить приблизно 40°. Він виявив, що кут φ для 14 з цих 18 променів лежав між 40° та максимумом у 41° 30’. Отже, ці теоретичні обчислення пояснювали його експериментальні спостереження, згадувані раніше, щодо того, що такий кут переважно дорівнює приблизно 42°.
У технічній примітці 29 наведено сучасну версію розрахунків Декарта. Замість виведення числового значення кута φ між вхідними та вихідними променями для кожного променя з кількох, як це робив Декарт, ми виводимо просту формулу, що дає φ для будь-якого променя з будь-яким прицільним параметром b, а також для будь-якого значення n – відношення швидкості світла в повітрі до швидкості світла у воді. Потім цю формулу використовують, щоб знайти значення φ в місці концентрації вихідних променів[54]. Для n, що дорівнює 4⁄3, оптимальне значення φ там, де якось сконцентроване вихідне світло, дорівнює 42,0°, як це і виміряв Декарт. Він навіть обчислив відповідний кут для вторинної райдуги, породженої світлом, що двічі відбивається всередині дощової краплини до виходу з неї.