Від 1666 року Ньютон багато років бився над усуненням цих прогалин. Тим часом тих самих висновків, що й Ньютон, дійшли й інші вчені. У 1679 році давній супротивник Ньютона Роберт Гук опублікував свої «Кутлерівські лекції», що містили деякі цікаві, хоча й описані не математично ідеї про рух та силу тяжіння:
По-перше, усі небесні тіла, які б вони не були, тяжіють або мають силу тяжіння в напрямку їхніх власних центрів, за допомогою чого притягують не лише свої власні частини, не даючи тим відлітати від них, як ми можемо побачити на прикладі Землі, а й також насправді притягують усі інші небесні тіла, що перебувають у сфері їхньої дії… Другим припущенням є те, що всі тіла, які б вони не були, що почали прямолінійний та простий рух, продовжуватимуть рухатися вперед по прямій, поки не будуть якимись іншими силами відхилені та змушені рухатися по колу, еліпсу або якійсь іншій складній кривій. Третім припущенням є те, що ці сили тяжіння діють тим потужніше, чим ближче тіло, на яке вони впливають, до їхніх власних центрів6.
Гук написав Ньютону про свої міркування, зокрема й про закон обернених квадратів. Однак Ньютон відмахнувся, відповівши, що ніколи не чув про роботу Гука і що «метод неподільних»7 (тобто математичний аналіз) є необхідним для розуміння планетних рухів.
Після цього в серпні 1684 року Ньютона з доленосним візитом відвідав у Кембриджі астроном Едмонд Галлей. Подібно до Ньютона, Гука, а також Рена, Галлей побачив зв’язок між законом обернених квадратів всесвітнього тяжіння і третім законом Кеплера для кругових орбіт. Галлей запитав Ньютона, якою була б фактична форма орбіти тіла, що рухається під впливом сили, обернено пропорційної квадрату відстані. Ньютон відповів, що така орбіта була б еліптична, і пообіцяв надіслати доказ. Пізніше того року Ньютон подав документ на десять сторінок «Про рух тіл орбітою», де описав загальний рух тіл під впливом сили, спрямованої до якогось центрального тіла.
Три роки по тому Королівське товариство опублікувало Philosophiae Naturalis Principia Mathematica («Математичні начала натуральної філософії») Ньютона – безумовно, найвидатнішу книжку в історії фізичної науки.
Гортаючи ці «Начала», якийсь сучасний фізик може бути здивований тим, як мало вони нагадують будь-яку з нинішніх фізичних наукових праць. Там багато геометричних діаграм, але мало рівнянь. Іноді здається, що Ньютон забув власну роботу з математичного аналізу. Але не зовсім – у багатьох його діаграмах можна побачити елементи, що мали б бути нескінченно малими величинами або нескінченними рядами. Наприклад, показуючи, що правило рівних площ Кеплера справедливе для будь-якої сили, спрямованої до якогось фіксованого центра, Ньютон уявляє, що планета отримує нескінченно багато імпульсів, що спрямовує її до цього центра, причому кожен із цих імпульсів відокремлений від наступного нескінченно малим проміжком часу. Загальні формули математичного аналізу роблять такий розрахунок не лише достовірним, а й швидким та легким, але ніде в «Математичних началах» цих загальних формул немає. Ньютонівська математика в «Математичних началах» не надто відрізняється від тієї, яку використовував, обчислюючи площу круга, Архімед або Кеплер, розраховуючи об’єми винних бочок.
Стиль «Математичних начал» нагадує «Начала» Евкліда. Починаються вони з визначень8:
Визначення I
«Кількість матерії є мірою матерії, що виникає спільно з її густини та об’єму».
Те, що в перекладі стає «кількістю матерії» у Ньютона, латиною мало назву massa, і сьогодні його називають також «масою». Ньютон тут визначає її як добуток густини та об’єму. Навіть попри те, що Ньютон не дає визначення густини, його визначення маси все одно корисне, бо читачі могли визнати як належне те, що тіла, утворені з однакових субстанцій, як-от заліза за заданої температури, матимуть однакову густину. Як показав ще Архімед, розрахунок питомої ваги дає значення густини будь-якої речовини відносно густини води. Ньютон зазначає, що ми виводимо масу тіла з його ваги, але не змішує поняття маси й ваги.
Визначення II
«Кількість руху є мірою руху, що виникає спільно зі швидкості та кількості матерії».
Те, що Ньютон називає «кількістю руху», сьогодні має назву імпульс. Ньютон визначає його як добуток швидкості та маси.
Визначення III
«Вроджена сила матерії [vis insita] є силою опору, завдяки якій кожне тіло, наскільки [воно] здатне, утримується у своєму стані або спокою, або рівномірного прямолінійного руху».
Далі Ньютон пояснює, що ця сила залежить від маси тіла і що вона «не відрізняється жодним чином від інерції маси». Сьогодні ми іноді характеризуємо масу як величину, що опирається змінам руху, називаючи її «інерційною масою».