4s = 4 × 15 = 60 =
= x2 + y2 + z2 + y1 + y2 + y3 + x1 + у2 + z3 + z1 + y2 + x3 = Зy2 + x1 + x2 + x3 + y1 + y2 + y3 + z1 + z2 + z3 =
= 3y2 + 1 + 2 +… + 9 = 3y2 + 45.
Следовательно,
Зy2 = 60–45 = 15 и y2 = 5.
В таблице
x1 y1 z1
x2 5 z2
x3 y3 z3
число 9 не может стоять в углу, так как, если, например, x1 = 9, то z3 = 1 (потому что s = 15), т. е. мы получили бы таблицу
9 y1 z1
x2 5 z2
x3 y3 1
Каждое из четырех чисел y1, z1, x2, х3 должно быть меньше шести, так как y1 + z1 = х2 + х3 = 6. Но у нас осталось лишь три числа, меньших шести, а именно: 2, 3 и 4. Таким образом, получилось противоречие. Отсюда мы делаем вывод, что число 9 должно находиться в середине строки или столбца, поэтому наш квадрат может быть записан так:
x1 9 z1
x2 5 z2
x3 1 z3
Число 7 не может быть в одной и той же строке с числом 9, так как тогда сумма чисел в этой строке была бы больше пятнадцати; точно так же число 7 не может быть в одной и той же строке с числом 1, так как тогда оставшееся в этой строке число должно было бы быть также семеркой. Таким образом, 7 не может находиться в углу, и мы можем считать, что наш квадрат имеет следующий вид:
x1 9 z1
7 5 z2
x3 1 z3
Числа, находящиеся в одной строке с числом 9 — это 2 и 4, так как иначе сумма в этой строке была бы больше пятнадцати. Далее, число 2 должно быть в том же столбце, что и число 7, так как если бы там стояло 4, то третье число в этом столбце было бы тоже 4. Используя это наблюдение, мы можем определить место каждого из двух оставшихся чисел 6 и 8, в результате получаем магический квадрат, изображенный на рис. 7.
Для больших значений n можно построить великое множество магических квадратов. В XVI и XVII веках, и даже позже, составление магических квадратов столь же процветало, как и составление кроссвордов в наши дни. Бенджамин Франклин[2] был страстным любителем магических квадратов. Он позже признавался, что, будучи служащим Законодательного Собрания штата Пенсильвания, он скрашивал скучные часы на службе составлением причудливых магических квадратов и даже магических кругов, в которых числа «стоят на переплетающихся окружностях, причем сумма чисел на каждой из окружностей одна и та же. Следующий эпизод взят нами из Собрания сочинений Бенджамина Франклина[3].
О магических квадратах Б. Франклина стало известно, когда один из его старых друзей, Логан, показал ему несколько книг о магических квадратах, заметив при этом, что не верит в то, что кто-либо из англичан мог бы сделать что-либо замечательное в этой области.
«Логан показал мне в одной из этих книг несколько необычных и довольно любопытных случаев, но ни один из них не мог сравниться с теми, которые, как я помню, были сделаны мною. Он попросил меня показать их. И в следующее свое посещение я принес ему квадрат 8 × 8, который я нашел среди своих старых бумаг и который я предлагаю вам с описанием его свойств» (рис. 10).
Рис. 10.
Б. Франклин упоминает только некоторые свойства своего квадрата. Мы предлагаем читателю найти и другие его свойства. Например, очевидно, что s равняется 260, а сумма чисел в каждой половине любой строки и в каждой половине любого столбца равняется 130, что составляет половину от 260. Четыре числа, стоящие в углах, в сумме с четырьмя числами, стоящими в центре квадрата, дают 260; сумма чисел по наклонному ряду, идущему от числа 16 вправо-вверх до числа 10, а далее по наклонному ряду, идущему, от числа 23 вправо-вниз до числа 17 равна 260. То же самое верно для каждого ряда из восьми чисел, параллельного описанному выше.
«Потом Логан показал мне старую книгу по арифметике, изданную в формате кварто[4] и написанную, я думаю, неким Штифелем (Михаил Штифель, «Arithmetica integra», Нюренберг, 1544). В этой книге был помещен квадрат 16 × 16, в который, по его мнению, был вложен колоссальный труд. Но если я не ошибаюсь, он имел лишь обычное свойство, т. е. обладал постоянной суммой, равной 2056 в каждом ряду: горизонтальном, вертикальном и диагональном.
Не желая уступить Штифелю даже в размерах квадрата, я, вернувшись домой, в тот же вечер составил квадрат 16 × 16, который помимо всех свойств моего квадрата 8 × 8, т. е. наличия постоянной суммы 2056 во всех аналогичных рядах и диагоналях, имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4 × 4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 квадратиков большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма 16 чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее ни положили, на большом квадрате будет одна и та же, и равна тому же самому числу 2056».