Таким образом, для выбора места строительства моста достаточно спроектировать речку на биссектрису угла АОВ и найти точку D проекции, ближайшую к точке О. Тогда мост нужно строить в точке С, которая проектируется в точку D.
12.11. Завод нужно построить в той из точек A, В или С пересечения магистралей, которая лежит против наибольшей стороны треугольника ABC (рис. 36). Если наибольших сторон две, то завод можно построить в любой точке меньшей стороны, а если треугольник равносторонний, то в любой точке треугольника. Действительно, считая для определенности справедливыми неравенства
и обозначая расстояния от точки D до сторон АВ, ВС и АС через х, y и z соответственно, получаем, что площадь S треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ADB, BDC и ADC:
Рис. 36
Поэтому справедливо неравенство
в котором равенство имеет место
В соответствии с этими случаями получаем расположение точки D либо в точке С, либо на стороне АС, либо в любой точке треугольника ABC.
12.12. Магистраль должна проходить через тот из двух населенных пунктов А или В, который более удален от города С. Если же точки A и В равноудалены от точки С, то магистраль можно проводить через любую из них. Для доказательства предположим, что АС≥ВС, и рассмотрим точку D, симметричную точке В относительно точки С (рис. 37). Обозначим через х расстояние от магистрали до точки A, через y до точки В (оно же из соображений симметрии - расстояние до точки D). Магистраль пересекает либо отрезок А В в некоторой точке Е, либо отрезок AD в некоторой точке F. В первом случае площадь S треугольника ABC равна сумме площадей треугольников АЕС и ВЕС:
а во втором - площади треугольника ACD, которая равна сумме площадей треугольников AFC и DFC:
Рис. 37
Поэтому величина х + y будет тем меньше, чем больше длина отрезка СЕ пли CF соответственно, которая принимает наибольшее значение при E = F = A, если AC>BC = DC, а также еще и при Е = В (или, что то же, при F = D), если АС = BC = DC. Мы воспользовались тем фактом, что если точка Е лежит между точками A и B, то в одном из треугольников АЕС или ВЕС угол при вершине Е не является острым и против него лежит сторона АС или несоответственно, большая стороны ЕС. Аналогично, если точка F лежит между точками A и D, то сторона FC меньше хотя бы одной из сторон АС или DC. Итак, мы доказали полностью утверждение, сформулированное в начале решения.
12.13. Заметим, во-первых, что искомая магистраль должна проходить хотя бы через один из данных населенных пунктов A, B или С. Действительно, если она не проходит ни через один из этих пунктов, то ее можно параллельно перенести так, чтобы она проходила через один из пунктов, а сумма расстояний от нее до этих пунктов стала бы меньше (если все три пункта лежат по одну сторону от магистрали, то ее можно пропустить через ближайший из этих трех пунктов, а если только два пункта лежат по одну сторону от магистрали, то ее можно пропустить через ближайший из этих двух пунктов).
Во-вторых, искомая магистраль должна проходить хотя бы через два из пунктов A, В или С. Действительно, если она проходит только через один пункт, то, согласно решению задачи 12.12, ее можно повернуть вокруг этого пункта так, чтобы она прошла еще через один пункт, а сумма расстояний от нее до этих пунктов стала бы меньше.
В-третьих, из всех положений магистрали, при которых она проходит хотя бы через два пункта, наименьшая сумма расстояний, разная расстоянию до магистрали от третьего пункта, достигается тогда, когда магистраль проходит через две наиболее удаленные друг от друга точки A, В или С. В самом деле, указанное расстояние до магистрали должно быть равно наименьшей высоте треугольника ABC, которая опущена, разумеется, на наибольшую сторону. Заметим, что случай, когда точки A, В или С лежат на одной прямой, также укладывается в описанную схему, а случай равенства каких-либо сторон треугольника ABC его наибольшей стороне дает возможность проводить магистраль по любой из этих сторон.
12.14. Пусть заводы расположены в вершинах треугольника ABC, а населенный пункт - в центре О вписанной в треугольник окружности. Пусть, кроме того, стороны треугольника имеют длины а = АВ, b = АС, c = ВС и касаются окружности в точках D, Е, F соответственно (рис. 38). Обозначим x = ОС, y = OВ, z = OA и докажем, что если a>b, то a + x>b + y. Действительно, из равенств отрезков касательных имеем