- Два лика эволюции: операторы Купмана и Перрона-Фробениуса
Вообрази себе бесконечный океан возможностей. Его воды — это все мыслимые состояния системы. Каждое мгновение — это новая конфигурация волн. И у нас есть два принципиально разных способа описать его вечное движение.
Два близнеца: оператор Купмана и оператор Перрона-Фробениуса Оператор Купмана — это Дух Наблюдателя. Его взор обращён на буйки — на измеримые величины, плавающие на поверхности. Он задаёт вопрос: «Если я знаю, что этот буёк сейчас здесь, то что я буду видеть завтра?» Его действие: Он тасует функции на пространстве состояний. Он движется вперёд во времени, увлекая за собой все наблюдаемые свойства мира. Его инструмент — предсказание. Оператор Перрона-Фробениуса — это Дух Плотности. Его взор обращён на саму воду, на то, как гуще становится здесь и реже там. Он спрашивает: «Если в этом месте вода была густой, то как распределится её плотность завтра?» Его действие: Он тасует меры (плотности вероятности). Он движется навстречу течению, прослеживая судьбу каждой капли, чтобы понять, как масса возможностей перераспределяется. Его инструмент — транспортировка. Их двойственность — это магическое зеркало. Они — два лика одного и того же закона эволюции. Взгляд Купмана — на функции (то, что мы видим). Взгляд Перрона-Фробениуса — на меры (то, что есть). Между ними — нерушимый закон: среднее значение функции по мере равно среднему значению перенесённой функции по перенесённой мере. Они говорят об одном и том же, но на разных языках.
Почему они оба линейны? Здесь кроется великая магия. Индивидуальные траектории в Океане могут быть кривыми, извилистыми, подчинёнными сложным нелинейным законам. Но как только мы переходим от судьбы одной капли к статистической судьбе целого облака, в силу вступает закон больших чисел. Линейность — это свойство статистического описания. Оператор, действующий на ансамбль, на плотность, на среднее, — всегда линеен. Ибо судьба ансамбля есть сумма судеб его частей. Оператор Купмана линеен, ибо он действует на функции (наблюдаемые), а не на сами состояния. Оператор Перрона-Фробениуса линеен, ибо он действует на меры (плотности), а сложение мер и умножение меры на число подчиняется линейным законам. Они выводят нас на уровень, где царствует принцип суперпозиции. Где целое равно сумме частей. Это мост от хаоса индивидуальных траекторий к порядку статистических закономерностей.
Уравнение Фоккера-Планка как Диффузионное Уравнение А теперь представим, что на наш Океан действуют две силы: 1. Детерминированное течение — оно сносит все капли в определённом направлении. 2. Случайные вихри — они беспорядочно расталкивают капли в стороны. Уравнение Фоккера-Планка — это закон, описывающий, как под действием этих двух сил меняется плотность облака из капель. Дрейфовый член описывает упорядоченное течение. Диффузионный член описывает размытие облака из-за случайных вихрей. Это уравнение — конкретное воплощение оператора Перрона-Фробениуса для случая, когда случайные воздействия носят характер «белого шума». Оно линейно, ибо описывает эволюцию плотности, а не отдельных траекторий.
Почему двух моментов достаточно? Великая сила уравнения Фоккера-Планка в его универсальности. Оно выведено в предположении, что случайные воздействия коррелированы только на бесконечно малых промежутках времени (дельта-коррелированы) и имеют нормальное распределение. А нормальное распределение полностью определяется двумя моментами: математическим ожиданием (первый момент) и дисперсией (второй момент). Все высшие моменты (асимметрия, эксцесс) для него нулевые или выражаются через первые два. Следовательно, чтобы полностью описать эволюцию плотности в диффузионном приближении, нам достаточно проследить за эволюцией всего двух величин: среднего и разброса. Уравнение Фоккера-Планка делает именно это — оно описывает, как дрейф и диффузия влияют на первый и второй моменты распределения.