Аттрактор. Не просто «то, что притягивает». В мире динамических систем это — «судьба» или «образ будущего», к которому система стремится со временем. Это может быть точка покоя (как шарик на дне чаши), предельный цикл (как бесконечные качели) или странный аттрактор — фрактальный клубок траекторий, описывающий детерминированный хаос.
Векторное поле. Представьте карту ветров, где в каждой точке пространства есть стрелочка, показывающая направление и силу ветра. Это и есть векторное поле. Язык, на котором природа описывает течение жидкостей, распределение тепла и силовые линии (например, магнитные).
Гомологии и Когомологии. Два способа изучать «дырки» в объектах. Гомологии смотрят на объект «изнутри», ища замкнутые циклы, которые не являются границей чего-то (как резинка на бублике, которую нельзя стянуть в точку). Когомологии смотрят «снаружи», изучая препятствия для глобального согласования локальных данных (почему на сфере нельзя «причесать ежа»). Оба подхода основаны на фундаментальном принципе: «граница границы всегда равна нулю».
Инвариантная мера. В вечно меняющемся хаотическом мире это — «климат», а не «погода». Статистическое описание того, как система проводит время в разных состояниях в долгосрочной перспективе. Это предсказуемая сердцевина непредсказуемого процесса.
Кольцо вычетов. Арифметика «по модулю», или математика циклических миров. Классический пример — часы. Если на обычных часах 5 + 10 = 15, то на часах с модулем 12 будет 5 + 10 = 3. Мир, где все числа «сворачиваются» через определенный интервал, создавая свою, иногда парадоксальную, логику.
Матрица. Не просто таблица чисел. Это «клетка» для преобразования пространства. Умножая матрицу на вектор (точку в пространстве), мы можем повернуть, растянуть, отразить или исказить весь мир. Матрицы — это «слова» в языке линейных преобразований, с помощью которых можно описать практически любую симметрию или эволюцию.
Метрика vs Расстояние. Расстояние — это конкретное число («от Москвы до Петербурга 705 км»). Метрика — это правило, договоренность о том, как мы это расстояние измеряем («по прямой» или «по проселочным дорогам»). От выбора метрики зависит геометрия мира: в одной вселенной «круг» — это привычный круг, а в другой (с манхэттенской метрикой) — квадрат.
Многообразие. Объект, который вблизи каждой своей точки устроен как привычное нам евклидово пространство (как лист бумаги для муравья), но глобально может иметь сложнейшую форму (как скомканный лист или сфера). Земля — хороший пример: локально она плоская, глобально — круглая. Наше сознание и вселенную также можно рассматривать как многообразия.
Оператор (Купмана, Перрона-Фробениуса). Если система эволюционирует во времени, оператор — это машина времени, которая сдвигает ее на один шаг вперед.
Оператор Купмана смотрит на «наблюдаемые» (например, температуру в каждой точке) и говорит, какой она станет через мгновение.
Оператор Перрона-Фробениуса смотрит на «вероятности» (плотность вероятности найти систему в некотором состоянии) и описывает, как эта плотность будет перераспределяться.
Это два взгляда на одно и то же: язык судьб отдельных точек и язык статистических закономерностей.
P-адические числа Альтернативная вселенная чисел, где «близкими» считаются не числа с похожей величиной, а числа, разность которых делится на высокую степень простого числа. В этом мире 1000 и 1 могут быть бесконечно далеки, а 128 и 0 — очень близки. Мир, где главную роль играет не размер, а делимость.
Пространство (в математическом смысле). Любое множество (набор объектов), наделенное дополнительной структурой (правилами), которая превращает хаотичную кучу элементов в осмысленный мир. Пространство = Множество + Структура (например, правило измерения расстояния — метрика).
Ряд (Тейлора, Фурье)
Способы разложения сложного объекта на простые, понятные «кирпичики».
Ряд Тейлора: Разложение в окрестности точки. Описывает поведение функции «здесь и сейчас», зная ее положение, скорость, ускорение и т.д.