Если же под объективным характером имеют в виду то, что наличные математические структуры непременно воплощены в знаковую форму, «представлены» в них и что эти знаковые, кодовые их «представители» существуют объективно реально (в книгах, в памяти и функционировании ЭВМ и т.д.), то это тоже не более чем общее место. Заметим, кстати, важную особенность знаковой, символической «представленности» математического объекта: в силу его чрезвычайной абстрактности, полной его отвлеченности (в большинстве случаев) от всех эмпирических свойств, чистой формальности он легко «представляется» и как бы «замещается» графическим символом; тут налицо феномен одномерности кода (предельная простота, точность и полнота связи «содержания» с его кодовым воплощением), полная «слитность» символа с его значением. Поэтому столь типично отождествление математического объекта с его символом: ведь оперирование математическим объектом зачастую равносильно оперированию соответствующим символом. В большинстве видов математической деятельности не возникает потребности в их специальном различении. Но все это, конечно, не снимает проблемы способа существования математического объекта.
В отличие от приведенных истолкований некоторые математики и философы (к ним близок и Ш. Эрмиг) признают объективно реальное существование математических объектов самих по себе, независимо от их знаковой или предметной объективации и до нее, т.е. в виде особых духовных сущностей. Идеалистический характер такой трактовки объективности математических структур очевиден. До сих пор в зарубежной математике сохраняется противостояние номиналистических и реалистических подходов к решению проблемы существования математических объектов.
Однако, как показано А. К. Сухотиным, эта альтернатива во многом искусственна и проистекает из-за неразличения «внутреннего» и «внешнего» языков математики (первый представляет собой язык описания математических объектов самих по себе, второй — язык описания их отношений к «вне-математической реальности»): «Подход к математическим объектам как реальности в рамках внутритеоретического языкового каркаса заключает безусловные преимущества. В силу такого понимания объекты становятся осязаемо-данными, наглядными, с ними удобно оперировать. И в этом нет идеализма, если не претендовать на большее (на решение «внешних» вопросов), ибо принятие языка еще не есть принятие онтологии» [202, с. 37].
С позиций диалектического материализма недопустима не только буквальная онтологизация математических структур, ведущая к платонистскому, «реалистическому» их пониманию, но и наивно-онтологическая их трактовка в материалистическом ключе, игнорирующая диалектический характер совершающегося в них отображения действительности. По способу своего существования математические объекты как таковые суть феномены субъективной реальности, но по своему «содержанию» они объективны, ибо в конечном итоге детерминированы объективной реальностью; существуя в индивидуальном сознании, они обладают статусом явлений общественного сознания. В этом отношении о существовании математических объектов, например «точки», «числа», «функции», можно говорить в том же смысле, что и о существовании «белого», «весны» или «дома». Это существующие в мышлении понятия, в которых с разной степенью абстрагирования и опосредствования отображается объективная реальность.
Разумеется, математические объекты имеют свою специфику. Лейбниц писал: «Универсальная математика — это, так сказать, логика воображения». И она должна изучать «все, что в области воображения поддается строгому определению» (цит.по [48, с. 319]). Математические структуры — это логически упорядоченные ментальные структуры, точнее, это своего рода репрезентации некоторых хорошо определенных интеллектуальных структур [242], представляющих собой аналоги наличных и исторически вероятных объективно реальных структур, проекты и предвосхищения возможных дискретизаций и континуумизаций действительности, потенциально существующих и творчески полагаемых связей, отношений, целостностей. Производимые математическим мышлением конструирования, сепарирования, упорядочения, интеграции абстрактных отношений часто идут далеко впереди эмпирически ориентированного познания, не предполагают прямого практического применения, из-за чего математические структуры и модели создают впечатление продуктов свободной игры теоретического мышления, а то и квалифицируются даже как «свободные творения разума» (см. [48, с. 337]).