488
Отношение, существующее между отношениями величин, т. е. между пропорциями, называется сложною пропорцией, потому что это сложное отношение; отношение, представляющее собою отношение 6 к 4 и 3 к 2, есть сложная пропорция. Когда входящие пропорции равны, эта сложная пропорция называется пропорциональностью, или двойною пропорцией. Отношение, существующее между отношением 8 к 4 и отношением 6 к 3, будет пропорциональностью, потому что эти оба отношения равны.
Должно заметить, что все отношения или все пропорции, как простые, так и сложные, суть действительные величины, а самый термин «величина» — термин относительный, необходимо указывающий на некоторое отношение, ибо нет ничего большого самого по себе вне отношения к другому, кроме бесконечного или единицы. Даже целые числа будут такими же несомненными отношениями, как числа дробные, т. е. числа, сравниваемые с другим числом или разделенные на другое число, хотя это может и не прийти в голову, так как целые числа могут быть выражены одной цифрой. Например, 4 или 8/2 будет таким же несомненным отношением, как 1/4 или 2/8. Единица, к которой 4 имеет отношение, не выражена, но она подразумевается; ибо 4 есть отношение, как и 4/1 или 8/2, потому что 4 равно 4/1 или 8/2. Если же всякая величина есть отношение или всякое отношение — величина, то очевидно, все отношения могут быть выражены цифрами и их можно представить воображению посредством линий.
Итак, все истины не что иное, как отношения, а следовательно, чтобы знать с точностью все истины, как простые, так и сложные, достаточно знать с точностью все отношения, как простые, так и сложные. Как было выше сказано, существуют двоякие отношения:
отношения равенства и отношения неравенства. Очевидно, что все отношения равенства подобны; если нам известно, что одна вещь равна другой нам известной вещи, мы знаем с точностью и отношение ее. Не то с неравенством: известно, например, что башня больше сажени и меньше тысячи саженей, но мы не знаем наверное ее величины и отношения ее к сажени.
Чтобы сравнивать вещи между собою или, вернее, чтобы измерять с точностью отношения неравенства, нужна точная мера, нужна простая и вполне понятная идея, универсальная мера, которая приложима ко всяким предметам. Эта мера — единица; ею измеряются точно все вещи и без нее невозможно ничего знать с некоторою точностью. Но все числа состоят из единиц, и очевидно, что без идей чисел и без сравнения и измерения этих идей, т. е. без арифметики, невозможно подвинуться в познании сложных
истин.
Так как идеи или отношения между идеями, словом, величины, бывают больше или меньше в сравнении с другими величинами, то их можно уравнять, прибавляя к ним или отнимая от них единицу. Итак, через прибавление или отнимание единицы или частей еди-
489
ницы (если мы мыслим ее разделенной) измеряются с точностью все величины и открываются все истины. Изо всех же наук лишь арифметика и алгебра учат нас по преимуществу производить эти действия, производить их искусно, с ясностью и удивительным сбережением способности ума. Так что эти две науки одни дают разуму все то совершенство, всю ту обширность, какие ему доступны; посредством их одних мы открываем все истины, которые могут быть познаны с полною точностью.
Обыкновенная геометрия совершенствует не столько разум, сколько воображения, и истины, открываемые посредством этой науки, не всегда бывают так очевидны, как это воображают геометры. Например, они думают, что выразили точно известные величины, если доказали, что они равны известным линиям, линии же эти будут хордами прямых углов, стороны которых с точностью известны, или линии, определенные каким-нибудь коническим сечением. Очевидно, они ошибаются, ибо эти хорды сами по себе вовсе неизвестны. Мы знаем с большею точностью v8 или v20, чем линию, которую мы воображаем или обозначаем на бумаге как хорду прямого угла, стороны которого равны 2 или одна сторона равна 2, а другая — 4. Известно, по крайней мере, что V8 весьма близок к 3, а \20 составляет приблизительно 4 с 1/2; и можно, следуя известным правилам, постоянно приближаться к их действительной величине до бесконечности; достичь этого невозможно лишь потому, что разум не может постичь бесконечного. Но наша идея о величине хорды весьма смутная, и приходится даже прибегнуть к v8 или v20, чтобы выразить ее. Итак, геометрические построения, к которым мы прибегаем, чтобы выразить точные величины количеств неизвестных, пригодны не столько для того, чтобы направлять разум и находить искомые отношения, или истины, сколько для того, чтобы направлять воображение. Но нам нравится больше пользоваться своим воображением, чем своим разумом, и потому математики обыкновенно уважают больше геометрию, чем алгебру и арифметику.