Но теперь вернемся к событиям 1925 года. В зимний семестр 1924/25 учебного года я снова работал в Копенгагене, пытаясь построить вместе с Крамерсом теорию дисперсии. По ходу работы в формулах, описывающих эффект Рамана, появились определенные математические выражения, которые в классической теории были произведениями рядов Фурье, тогда как в квантовой теории они явно подлежали замене аналогично построенными произведениями рядов, относящихся к квантово-теоретическим амплитудам линий спектра испускания или поглощения. Закон умножения для этих рядов имел простой и убедительный вид. Когда в летний семестр 1925 учебного года я возобновил эту работу в Геттингене, одно из первых же обсуждений с Борном привело нас к выводу, что я должен попытаться угадать амплитуды и интенсивности для водорода, исходя из формул классической теории с учетом боровского принципа соответствия. Этот метод угадывания уже успел хорошо зарекомендовать себя. Нам казалось, что мы достаточно усвоили его в прошлых работах. Однако при более углубленном подходе задача оказалась чересчур сложной, по крайней мере для моих математических способностей, и я искал более простые механические системы, где метод угадывания обещал больший успех. При этом у меня возникло ощущение, что я должен отказаться от какого бы то ни было описания орбит электронов, должен даже сознательно изгонять подобные представления. Вместо этого мне хотелось целиком положиться на полуэмпирические правила умножения амплитудных рядов, которые оправдали себя в теории дисперсии. Искомой механической системой я избрал одномерный ангармонический осциллятор, который казался мне достаточно простой и вместе с тем не слишком тривиальной моделью.
Примерно в то же время, в конце мая или в начале июня, мне пришлось попросить у Борна двухнедельный отпуск, поскольку я заболел очень неприятной формой сенной лихорадки и хотел дождаться выздоровления на уединенном острове Гельголанд вдали от цветущих лугов. Там я смог без всяких внешних помех уйти с головой в свою проблему. Я заменил пространственные координаты таблицей амплитуд, которая предположительно должна была соответствовать классическому ряду Фурье, и написал для нее классическое уравнение движения, причем в нелинейном члене, выражавшем ангармоничность, применил умножение амплитудных рядов, оправдавшее себя в дисперсионной теории. Лишь гораздо позднее я узнал от Борна, что речь тут шла просто о матричном умножении — разделе математики, остававшемся мне до того времени неизвестным. Меня беспокоило то, что при такого рода умножении рядов a x b не обязательно оказывалось равным b x а. При таком уравнении движения таблицы, выражавшие пространственное местоположение, не достигали еще однозначной определенности. Предстояло еще найти замену для квантового условия Бора — Зоммерфельда, ибо в нем применялось понятие электронных орбит, которое я намеренно сделал для себя запретным. Но отвечающее принципу соответствия преобразование вскоре привело меня к известному мне по Копенгагену правилу сумм, которое Томас и Кун вывели из дисперсионной теории[16]. Тем самым вроде бы вся математическая схема обретала законченный вид, и теперь оставалось исследовать, поддается ли она механической интерпретации. Для этого требовалось показать, что существует выражение для энергии, которое можно представить через таблицы координат и которое по принципу соответствия связано с классической формулой энергии; что это выражение постоянно во времени, то есть что закон сохранения энергии не нарушается; и что соответственно таблицы, выражающие энергию, представляют собою то, что мы сегодня называем диагональной матрицей. Наконец, предстояло доказать, что разности энергетических уровней различных атомных состояний с точностью до множителя h, то есть постоянной Планка, соответствуют частоте излучения, испускаемого при переходах. Таким образом, надо было удовлетворить сразу многим условиям; расчеты были элементарными, но именно поэтому довольно громоздкими. В конце концов оказалось, что все условия удовлетворены, что можно тем самым уверенно говорить о создании основ квантовой механики. По возвращении в Геттинген я показал работу Борну, который нашел ее интересной, но несколько странной; странной потому, что понятие электронных орбит было полностью элиминировано. Он все равно послал ее для публикации в физический журнал. Борн и Йордан углубились в математические выводы из работы, на этот раз без меня, потому что Эренфест и Фаулер пригласили меня прочесть доклады в Голландии и в английском Кембридже. Буквально за несколько дней Борн и Йордан отыскали решающее соотношение pq — qp = 2πi/h, благодаря которому вся математическая схема стала сразу прозрачной; теперь можно было легко и изящно выводить такие важные законы, как закон сохранения энергии[17].