Ковалевская нашла новый — третий — случай, а к нему — четвертый алгебраический интеграл. Полное решение имело очень сложный вид. Только совершенное знание гиперэллиптических функций позволило ей так успешно справиться с задачей.
Позднее великий русский математик А. М. Ляпунов писал, что Софье Васильевне Ковалевской удалось получить известные положительные результаты именно потому, что она нашла четвертый алгебраический интеграл.
И до сих пор четыре алгебраических интеграла существуют лишь в трех классических случаях: Эйлера. Лагранжа и Ковалевской.
Летом 1888 года Софья Васильевна не смогла по-настоящему, с присущей ей тщательностью, завершить все вычисления, чисто механические, которые был бы в состоянии выполнить за неделю любой человек, привыкший с ними обращаться.
«Самое худшее — это то, что я так устала, — жаловалась она Миттаг-Леффлеру, — так изнемогла, что я сижу и размышляю в течение целых часов о какой-нибудь простой вещи, которую при других обстоятельствах легко могла бы решить в полчаса».
Не отважившись послать литературно не завершенную статью прямо в Парижскую академию, Софья Ковалевская направила ее Эрмиту, подробно изложив причины задержки в работе, поделилась с ним мыслями о некоторых, как ей тогда уже казалось, «удивительных и интересных результатах», попутно найденных ею относительно общего случая, и просила Эрмита посоветовать, что делать дальше со статьей на конкурс.
Эрмит успокоил ее. Он передал ей слова члена конкурсной комиссии Дарбу и непременного секретаря академии Бертрана, что, так как комиссия не будет заседать до октября из-за летнего отпуска академиков, госпожа Ковалевская имеет право до этого срока сделать в своей работе любые литературные изменения, внести любые дополнения.
К этому сообщению французский математик добавлял, что сам он жаждет только одного — поскорее узнать те прекрасные и важные результаты, к которым пришла Ковалевская в знаменитом вопросе. «Мне будет приятно подбирать колосья со сжатого вами поля. Я уже мечтаю об изучении частных случаев, в которых ваши гиперэллиптические интегралы приводятся к эллиптическим функциям, подобно тем примерам, которые дали Якоби и другие», — писал пользовавшийся широкой известностью Эрмит, ставя ученую-женщину в самый высокий ряд математиков своего времени.
Получив такой благоприятный ответ, позволявший немного отдохнуть, Софья Васильевна подписала свой труд девизом — несколько расширенная старофранцузская пословица — «Dis ce que tu sais, fais ce que tu dois, advienne ce que pourra» («Говори, что знаешь, делай, что должен, будь что будет») — и послала в Париж, конкурсной комиссии. Она не хотела отделывать работу в состоянии изнурения, так как предчувствовала, что дальнейшие исследования обещают новые приятные неожиданности. А для этого надо было накопить сил.
Максим Ковалевский, возвратившись в Стокгольм, поразился переменой, происшедшей в Софье Васильевне: она похудела, лицо ее так осунулось, побледнело, глаза так угасли и запали, что она выглядела состарившейся на несколько лет.
Но даже в состоянии предельного изнурения Ковалевская оставалась неотразимо интересной собеседницей. Максим Максимович настойчиво просил ее совершить с ним путешествие, чтобы она смогла отдохнуть перед конкурсом. Он предлагал отправиться на Кавказ, через Константинополь, уверял, что поездка обойдется ей очень недорого. «Но, — сообщала Софья Васильевна Анне-Шарлотте, которая собиралась, как и Миттаг-Леффлер, ехать с ними, — относительно этого пункта у меня существуют сомнения, и я думаю, что мы поступим благоразумнее, если будем держаться цивилизованных стран».
Сама она иначе планировала свой отдых. Софья Ковалевская отказалась от приглашения приехать в Болонью на празднование 800-летия университета, где должны были собраться крупные ученые мира. Знаменитая женщина-профессор не могла позволить себе лишних расходов на необходимые туалеты, так как ей приходилось расплачиваться со старыми долгами Владимира Онуфриевича и она жила в обрез. Да и не в ее вкусе были скучно-торжественные собрания такого рода. Кроме того, для нее было очень важно побывать в Париже. Софья Васильевна предлагала Анне-Шарлотте встретиться в половине июня в Италии и там решить, где провести лето. Ей самой было бы приятнее всего поселиться «в каком-нибудь тихом и красивом месте и начать вести спокойную идиллическую жизнь», работая над не удовлетворявшей ее литературной стороной исследования о вращении твердых тел.