На примерах он высказывает свои соображения. Далее он спрашивает, знакома ли Ковалевская с доказательством существования решения дифференциального уравнения, восходящим как будто к Коши. Пусть дано уравнение
dy/dx=R(x, у),
ищется его решение при условии, что г/=7/0 при х=х0.
Рунге делит промежуток (х0, х) точками х0, хи ... х2, ... на части и составляет равенства
вует для достаточно малых значений хп — хп_! и представляет функцию от Xj у, которая удовлетворяет дифферев-
250
циальному уравнению при условии, что R (х, у) непрерывна вблизи (х0, у о,) и имеет первые производные. Это доказательство применимо и для неаналитических функций R(x,y), применимо и в более общих случаях [Р 1]. Рунге добавляет, что у него возникают и соображения о возможности практического вычисления интеграла.
О себе К. Рунге, вероятно, еще имевший мало опыта в преподавании, пишет следующее: «Я не очень доволен своими лекциями. Я ясно чувствую несовершенство моего изложения и иногда жалею своих слушателей. А также мне хотелось быть в более тесном общении со своей аудиторией, так как часто я совершенно не знаю, успевают ли мои слушатели следить за мной или пет, где желателен более подробный разбор и где я могу быть более кратким. А в общем я делаю доклады с большой охотой. Многое стало теперь для меня впервые ясным» [Р 1].
Далее он выражает радость по поводу обещанного приезда Софьи Васильевны в Берлин на пасхальные каникулы и просит ее прислать им то, что написали о Софье Ковалевской шведские газеты. «Мы уж поймем шведский язык»,—говорит он и добавляет: «Мы не покажем этого Кронекеру»[Р 2].
Второе письмо К. Рунге, от 11 февраля 1884 г., целиком посвящено подробному доказательству теоремы существования (тем же методом, что и в первом письме) для системы
Софья Васильевна написала Рунге 18 февраля и поставила перед ним несколько вопросов. В своем письме от 10 марта Рунге говорит о теореме существования для системы, в которой ?v (xi, х2, ..., X») аналитическая функция комплексных переменных. Заканчивает он письмо словами о том, что ему еще надо ответить ей на ряд вопросов, и в свою очередь спрашивает у нее: «Что это за теорема об истинном (wahre) радиусе сходимости дифференциального уравнения?». Его интересуют также исследования Ковалевской о потенциальных функциях [Р 3],—возможно, что речь идет о работе [9].
Второго апреля 1884 г. Рунге отвечает на некоторые математические вопросы Ковалевской и выражает сожаление; «Как сложно переписываться! Какая печальная
251
замена личной беседы!» Он сообщает некоторые берлинские новости: летом он читает аналитическую механику четыре раза в неделю и одночасовой специальный курс (privatissimum) об алгебраическом решении уравнений. Кёниг- сбергер приглашен в Гейдельберг и скоро покинет Вену, Фукс вернется раньше или позже, в зависимости от того, когда появится Кёнигсбергер. Рунге хотелось бы приехать в Стокгольм, но сейчас он не может этого сделать. В конце Рунге восклицает: «Если бы я только мог прочесть то, что Вы в Вашем письме так тщательно зачеркнули! Я вижу вопросительный знак и меня мучает невозможность на него ответить» [Р 4].
Летом 1884 г. Ковалевская была в Берлине. В записке от 8 июля 1884 г., приложенной к рукописи его статьи, Рунге говорит, что дружелюбные замечания Софьи Васильевны побудили его записать свои исследования по однозначным функциям. Он посылает их на ее суд, просит прочесть и вычеркнуть все непонятное или неясное. Записку он пишет потому, что не думает застать Ковалевскую дома. Завтра он рассчитывает встретиться с нею.
Записка от 14 июня сопровождает и другую статью Рунге. В ней он высказывает соображение по поводу одного пункта предыдущих исследований и заканчивает ее словами: «Завтра я ничего другого делать не буду, как только плавать, грести и играть в теннис. И этого хочет приват-доцент математики!» [Р6].
Через неделю Рунге пишет, что он с удовольствием прочитал доказательство ее ученика о функции, для которой име:ет место теорема сложения, но он может предложить более простое доказательство того, что такая функция в конечной области может иметь только алгебраические особенности. Рунге излагает свое доказательство. Считая, что он не очень хорошо это делает, он добавляет, что Ковалевская, обладая большей, чем у него, живостью ума, поймет его. В конце письма он возвращается к обсуждению одного ее равенства, которое он уже оспаривал в одном из предыдущих писем. Здесь он говорит, что не может с ним согласиться, даже «если Вы предадите меня пыткам испанской инквизиции, на что я все же не хочу рассчитывать» [Р7].