Я сомневаюсь, как Вы видите и может быть слышали от меня и раньше, не в самом случае, найденном С. В. Ковалевской, а только в единственности его» 4.
Приходится пожалеть, что А. А. Марков не высказал своих сомнений самой Софье Васильевне. Ученик П. А. Некрасова Г. Г. Аппельрот предпринял после смерти Ковалевской более подробные вычисления к § 1 мемуара Ковалевской. Но А. А. Марков объявил, что выкладки Аппельрота «лишены значения, так как построены они на ложном основании, состоящем в замене предложенной системы уравнений другою». На самом деле Аппельрот только видоизменил запись рядов (5) Ковалевской [194]. Марков же обратился за посредничеством к А. М. Ляпунову.
В архиве Академии наук сохранились три письма
А. А. Маркова А. М. Ляпунову с двумя ответными письмами А. М. Ляпунова.
А. А. Марков выставил два основных возражения.
Первое возражение. Из сравнения показателей нельзя заключить, что значения ni=n2=n3=l, mi=m2^=m3==2
являются единственно возможными. Действительно, рассматривая в § 1 первого мемуара Ковалевской равенства (3), «согласно известному со времен Ньютона началу наибольших и наименьших показателей... замечаем, что каждая из следующих шести систем должна содержать по крайней мере два равных числа:
С. В. Ковалевская уравнивает между собой в каждой из указанных здесь шести систем не два, а все (четыре или три) числа и, таким образом, отбрасывает без доста¬
188
точных оснований бесчисленное множество случаев, как, например, случай
Второе возражение. Ковалевская не рассматривает случая кратных корней своего основного определителя, между тем как не исключена возможность существования однозначного общего интеграла и при наличии кратных корней».
Справедливость второго замечания была обнаружена Г. Г. Аппельротом [194, 195] и П. А. Некрасовым [196], которые нашли пропущенные Ковалевской решения; однако дальнейшие исследования показали, что интегралы в этом случае получаются многозначными, так что случаи эти отпали, не изменив теорему Ковалевской.
По поводу первого своего возражения Марков пишет: «Первое мое замечание не только не может быть опровергнуто, но я сильно сомневаюсь, чтобы кому-нибудь удалось в более или менее близком будущем пополнить указанный мною пробел» 5.
Однако А. М. Ляпунов очень быстро пополнил указанный Марковым пробел. Во введении к статье [197], которую он впоследствии опубликовал по этому поводу, Ляпунов говорит, что, «соглашаясь с Марковым относительно недостаточности анализа Ковалевской», он «все же склонен был думать, что вопрос решается именно таким образом, как полагала Ковалевская, и что решение его может быть достигнуто без особых затруднений, если несколько иначе приняться за дело» [13, с. 286]. «Вследствие этого,— пишет Ляпунов,— я решил рассмотреть вопрос с другой точки зрения и попытаться приложить к нему методу, которая давно уже казалась мне наиболее подходящей для решения вопросов такого рода» [13, с. 124, 288].
Статья Ляпунова задержалась, и в это время появилась книга Г. Г. Аппельрота «Задача о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки» [195], в которой он, опираясь на общие исследования, относящиеся к системам нелинейных уравнений, в том числе и на теоремы Ляпунова, доказывает теорему Ковалевской.
Что касается работы Ляпунова, то в пей дается не только доказательство теоремы, высказанной Ковалев¬
189
ской, но и более общей теоремы, а именно: из всех слу-* чаев, когда постоянные А, В, С, х0, у о, Zo вещественны и Л, В, С, все отличны от нуля, известные три случая суть единственные, в которых функции р, g, г, 4, 4', ч”, опре-* деляемые уравнениями (1), однозначны при всяких на^ чальных значениях. Другими словами, решение не может иметь вида ряда Лорана с бесконечной главной частью (Ковалевская рассматривала лишь ряды Лорана с конечной главной частью).
Метод Ляпунова заключается в следующем: давая малые изменения параметрам р0, д0, г0, /о, go, h0, он варьирует решение системы. При этом для вариаций решений получается система линейных уравнений с переменными коэффициентами. Однако, если за исходные решения взять простейшие частные решения заданной системы, имеющие особыми точками полюсы:
то получаемая линейная система будет эйлеровской, и вопрос о ее однозначных решениях исследуется до конца. А. М. Ляпунов останавливается также специально на рассмотрении случая вещественных начальных значений, отвечающих реальной физической задаче.