Деформации, которые мы здесь рассмотрим, достаточно малы, так что при разложении в ряд функций напряжения нам понадобятся только первые члены деформации, и мы считаем справедливым закон Гука. Ради простоты, мы пренебрегаем изменениями массовой плотности, которые могут быть результатом растяжения пустотелых вихревых сердечников и изменениями плотности трубок (длины трубки на единицу объёма). Эти условия требуют, чтобы расходимость смещений среды была равна нулю.
Наличие обычных соотношений напряжение — деформация позволяет воспользоваться некоторыми результатами теории упругости. Для упругой среды со смещением D, для которого расходимость div D равна нулю.
G curl curl
D
+ρ
∂²D
∂t²
=0,
(1)
где G и ρ, соответственно48a, — модуль сдвига и плотность.
Равновесие имеет место, когда curl D невращателен. Примером может служить цилиндрическое смещение:
D
x
=(y²+z²)
½
,
D
y
=D
z
=0.
Так как curl curl D равно нулю, это — одно из состояний равновесия. Интересным в этом примере является то, что при таком смещении трубки искривляются.
Изолированная изогнутая трубка не остаётся стационарной, потому что кривизна приводит к тому, что скорость на вогнутой стороне трубки оказывается большей, чем на выпуклой, а потому она создаёт соответственно пониженное давление на вогнутой стороне. Эта скорость сначала ускоряет первоначально стационарную трубку по направлению к вогнутой стороне, но как только трубка приобретает скорость, возникает подъёмная сила, которая ускоряет трубку в боковом направлении в сторону движения жидкости на вогнутой стороне. Эта подъёмная сила оказывается достаточно большой, чтобы преодолеть градиент давления поперёк трубки. В результате получится боковое смещение в положении трубки. Это движение имеет трансляционный компонент48b и налагающийся на него вращательный компонент. Последний не создаёт направляющего эффекта в среднем, и мы его игнорируем. Трансляционный компонент этого движения называется дрейфом. Для малых искривлений дрейф пропорционален кривизне (см. приложение 2).
В цилиндрическом смещении жидкость находится в равновесии, так что трубки также должны быть в равновесии. Кривизна трубок, которая приводила бы к дрейфу, если бы трубки были изолированными, должна поэтому компенсироваться структурными изменениями. Форма трубок в деформированном состоянии создаёт микроскопические течения и градиенты давления, которые и нейтрализуют действие кривизны. Это имеет место для любого смещения, для которого как div D, так и curl curl D равны нулю.
Кривизна трубки, которая не сопровождается структурными изменениями и, следовательно, остаётся некомпенсированной, создаёт дрейф. Некомпенсированная кривизна вызывается только дифференциальными вращениями, так как только в случаях движений твёрдого тела получается кривизна, не сопровождаемая структурными изменениями. До тех пор, пока трубки следуют движению жидкости, поведение среды является упругим в классическом смысле; но когда трубки дрейфуют относительно жидкости, уравнение (1) неполно, так как в нём нет учёта дрейфа.
III. Уравнения Максвелла
Теперь мы можем сделать наш описательный анализ среды более определённым. Обозначим прочность на вращение каждой трубки через κ, где 2πκ — циркуляция вокруг трубки. Для указания направления циркуляции введём вектор κ и выберем это направление так, чтобы оно совпадало с пальцами правой руки, охватывающей трубку, а большой палец был бы направлен по κ. Величина κ предполагается одинаковой для всех трубок. Дрейф трубки пропорционален её кривизне; коэффициент пропорциональности (коэффициент дрейфа) обозначим через α. Трубка в нейтральной среде занимает среднее положение; боковое смещение от этого положения обозначим через ξ. Тогда дрейф можно записать в виде 𝑑ξ/𝑑t. Единица длины дрейфующей трубки оказывает на жидкость тягу 2πκρξ, причём эта величина является также подъёмной силой. Плотность трубки обозначим через L. В приложении I показано, что для некоторых целей трубки можно разлагать как векторы; этим упрощением мы теперь и воспользуемся.