Когда трубки разлагаются на их векторные компоненты, то плотность трубки вдоль каждого направления есть ½L так как среднее значение направляющегося косинуса для сферически симметричного распределения равно ½. На рис. 2 элемент среды, первоначально прямолинейный, изогнут смещением D. Вращения элементов 1 и 2, определённые в этих местах, равны ½ curl D, как показано стрелками.
Рис. 2. Элемент объёма, искривлённый при дифференциальном вращении
Кривизна элемента вдоль прямой, перпендикулярной к оси вращения, есть разность во вращениях элементов 1 и 2, делённая на расстояние между ними и, следовательно, она имеет величину ½ curl curl D. Трубка, лежащая внутри куска, с таким вращением, как на рис. 2, смещается в плоскость рисунка и вправо со скоростью ξ, превышающей кривизну в α раз. Дрейфующая трубка единичной длины оказывает на жидкость тягу 2πκρξ в направлении 𝑑ξ/𝑑t×κ, так что эту тягу можно выразить как 2πρ𝑑ξ/𝑑t×κ на единицу длины. Если разложить трубки вдоль curl DD, curl curl и нормально к этим направлениям, то только последняя часть приобретёт некомпенсированную кривизну. Их плотность равна ½L на единицу объёма. Тяга на единицу объёма, создаваемая дрейфом, равна
F
=-2πκρ(α ½ curl curl
D
)(½L)=
=-½πκραL curl curl
D
.
(2)
Знак минус получается от того, что curl curl D противоположно кривизне по направлению. Сравнение с (1) даёт соотношение F=½πκρα L. Так как тяга на единицу длины трубки равна 2πρ𝑑ξ/𝑑t×κ, то тягу на единицу объёма F можно записать в виде
F
=2π(𝑑ξ/𝑑t×κ)(½L)=πρL𝑑ξ/𝑑t×κ
(3)
Подставляя это выражение для F в (2), получим
𝑑ξ/𝑑t×κ=-½κα curl curl
D
.
(4)
Теперь рассмотрим криволинейный интеграл от F по замкнутой плоской кривой C (рис. 3). Трубки, перпендикулярные к плоскости рисунка, показаны в сечении кривыми стрелками для обозначения направления циркуляции, причём за положительное направление принято направление против часовой стрелки. Из предыдущих рассуждений ясно, что если некомпенсированная кривизна такова, что трубка 1 дрейфует в C, то трубка 2 имея противоположную циркуляцию, будет дрейфовать из C. Подъёмная сила на каждую трубку направлена вдоль -F, а тяга на жидкость направлена вдоль F.
Рис. 3. Трубки, дрейфующие через кривую С.
Из рис. 3 ясно, что если F должно сохранять преобладающее направление против часовой стрелки, то трубки с положительной циркуляцией будут дрейфовать внутрь C, а трубки с отрицательной циркуляцией будут покидать C, увеличивая таким образом результирующую положительных трубок. Следовательно, криволинейный интеграл F вокруг C связан со скоростью изменения результирующей циркуляции вокруг C. На рис. 3 элемент длины дуги 𝑑r обозначен через F и представлена плоскость (плоскость рисунка), по отношению к которой дрейфующие трубки имеют нормальные составляющие. Число положительных трубок, пересекающих 𝑑r влево в единицу времени, в ξ𝑑r cos θ раз больше числа положительных трубок на единицу площади. Число отрицательных трубок, покидающих C, такое же самое. Отрицательная трубка, покидающая C, есть та же самая в отношении циркуляции C, что и положительная входящая трубка. Компоненты трубки в плоскости рисунка не вносят никакой доли в циркуляцию C. Каждая трубка внутри C вносит 2πκ единиц циркуляции в C, а так как плотность разлагаемых трубок в направлении, нормальном к рисунку, есть ½L то скорость изменения циркуляции вокруг C равна
∂/∂C (circ C) =
∮
2πκ(½L)(ξ𝑑r cos θ).
На основании (3), учитывая, что 𝑑ξ/𝑑t нормально к κ, можно записать
F
𝑑
r
=πρκLξ𝑑r cos θ,
так что
∂/∂t(circ C) = 1/ρ
∮
F
𝑑
r
.
По мере того как размеры контура C становятся малыми (однако недостаточно малыми, для того чтобы были различимы индивидуальные трубки), эти члены, разделённые на площадь, охватываемую C, приближаются к компоненту, нормальному плоскости рисунка