∂/∂t(curl
q
)=1/ρ curl
F
,
(5)
где q — макроскопическая скорость среды (в отличие от микроскопической скорости жидкости).
Теперь напишем q в виде 𝑑D/𝑑t перегруппируем члены в (5). Принимая во внимание (2), получаем
curl
F
= ρ curl ∂²
D
/∂t²,
F
=-G curl curl
D
.
(6)
За исключением некоторых деталей, относящихся к дрейфу, эти уравнения представляют расчленённую форму (1). Теперь определим два новых вектора для того, чтобы ввести дрейф явным образом (выбор символов предусматривает возможность аналогии с электромагнитными полями, как это следует из дальнейшего); пусть из уравнения (3)
∂
E
=∂t=𝑘
1
(πρL𝑑ξ/𝑑t×
κ
)=𝑘
1
F
и B=𝑘2 curl D, где 𝑘1 и 𝑘2 — произвольные постоянные. Теперь уравнения (6) принимают вид
curl ∂
E
/∂t = -(𝑘
1
ρ/𝑘
1
)∂²
B
/∂t²,
curl
B
= (𝑘
2
/𝑘
1
G)∂
E
/∂t.
Если предположить, что установившиеся поля отсутствуют, то интегрирование по времени первого из этих уравнений и приравнивание к нулю даёт аналог вихревых уравнений Максвелла для свободного пространства
curl
E
= -(𝑘
1
ρ/𝑘
2
) ∂
B
/𝑑t,
curl
B
= (𝑘
2
/𝑘
1
G) ∂
E
/𝑑t
(7)
Так как 𝑘2 и 𝑘1 произвольны, то можно выбрать 𝑘2=ρ𝑘1 итогда получим
curl
E
= -∂
B
/𝑑t,
curl
B
= (1/c²) ∂
E
/𝑑t
(8)
где c²=G/ρ — квадрат волновой скорости.
Из этого факта, что B есть вихрь вектора, получаем
div
B
= 0.
(8a)
На основании (4) получаем div 𝑑E/𝑑t=0 или div E не зависит от времени. Так как мы предположили, установившиеся поля отсутствуют, то для рассматриваемых частных случаев должно быть
div
E
=0.
(9)
Если выбрать 𝑘1 безразмерным, то 𝑑E/𝑑t будет иметь размерность силы на единицу объёма, а E — размерность импульса на единицу объёма. Так как curl D безразмерен, то B имеет размерности 𝑘2 которые при специальном выборе, сделанном для получения уравнения (8), представляют размерность массовой плотности. Волновая скорость должна быть независимой от выбора 𝑘1 и 𝑘1 — факт, который подтверждается уравнениями (7).
IV. Заключение
Было показало, что поперечное движение трубок относительно жидкости получается как результат смещений, индуцирующих некомпенсированную кривизну. Это исключает необходимость в «холостых колёсах» и «упругих ячейках» максвелловской модели48c. Вместе с тем поляризация, вращения и дифференциальные вращения получаются естественным путём, заменяя гипотезу гидростатической устойчивости Мак-Келлога. Как было показано в настоящей статье, уравнения Максвелла также удовлетворяют модели Бернулли, свободной от большей части уродливых особенностей моделей Максвелла и Мак-Келлога.
Симметрию вихревых уравнений Максвелла в том виде, как они применяются к вихревой губке, легко истолковать физически. Первое из уравнений (8), аналог закона Фарадея, утверждает, что накопленная завихрённость, создаваемая дрейфом, определяет скорость вращения среды; второе уравнение утверждает, что дифференциальное вращение определяет дрейф. Очевидно, дрейф и сопутствующие ему структурные изменения являются теми свойствами вихревой губки, которые резко отличают её от упругих твёрдых тел. У последних члены, соответствующие 𝑑E/𝑑t, отсутствуют.