Движение жидкости называется безвихревым в том случае, когда оно таково, что если бы сферическая часть жидкости внезапно отвердела, то образованная таким образом твёрдая сфера не получила бы вращения вокруг некоторой оси. Когда движение жидкости вращательное, то ось и угловая скорость вращения некоторой малой части жидкости суть ось и угловая скорость малой сферической части, внезапно отвердевшей.
Математическое выражение этих определений таково. Пусть u, v, w суть компоненты скорости жидкости в точке (x, y, z) и пусть
α=
∂v
∂z
-
∂w
∂y
,
β=
∂w
∂x
-
∂u
∂z
,
γ=
∂u
∂y
-
∂v
∂x
…,
(1)
тогда α, β, γ суть компоненты скорости вращения жидкости в точке (x, y, z). Ось вращения совпадает с направлением результирующей α, β и γ, а скорость вращения измеряется этой результирующей.
Линия, проведённая в жидкости так, чтобы в каждой точке линии
1
α
𝑑x
𝑑s
=
1
β
𝑑y
𝑑s
=
1
γ
𝑑z
𝑑s
=
1
ω
…,
(2)
(где s — длина линии до точки x, y, z) называется линией вихря. Её направление во всех точках совпадает с направлением оси вращения жидкости. Теперь мы можем доказать теорему Гельмгольца, что точки жидкости, находящиеся в некоторый момент на одной и той же вихревой линии, будут лежать на той же линии во все время движения жидкости.
Уравнения движения жидкости имеют вид
ρ
δu
δt
+
𝑑p
𝑑x
+p
𝑑V
𝑑x
=0…,
(3)
где ρ — плотность, которую в случае нашей однородной несжимаемой жидкости мы можем принять равной единице; оператор δ/δt изображает быстроту изменения величины, которой он предшествует, в точке, движущейся вперёд с жидкостью, так что
δu
δt
=
𝑑u
𝑑t
+u
𝑑u
𝑑x
+v
𝑑u
𝑑y
+w
𝑑u
𝑑z
…,
(4)
где p — давление, а V — потенциал внешних сил. Есть ещё два других уравнения того же вида, соответствующих осям y и z. Дифференцируя по z уравнение, соответствующее оси y и по y — уравнение, соответствующее оси z, и вычитая второе из первого, находим
𝑑
𝑑z
δv
δt
-
𝑑
𝑑y
δw
δt
=0… .
(5)
Выполняя дифференцирование и обращаясь к уравнениям (1) и к условию несжимаемости
𝑑u
𝑑x
+
𝑑v
𝑑y
+
𝑑w
𝑑z
=0,
(6)
находим
δα
δt
=α
∂u
∂x
+β
∂u
∂y
+γ
∂u
∂z
.
(7)
Пусть теперь вихревая линия проведена в жидкости так, чтобы она всегда начиналась в одной и той же части жидкости. Компоненты скорости в данной точке суть u, v, w. Найдём компоненты скорости точки движущейся вихревой линии в расстоянии 𝑑s от данной точки, где
𝑑s=ω𝑑σ.
(8)
Координаты этой точки суть
x+α𝑑σ,
y+β𝑑σ,
z+γ𝑑σ,
(9)
а компоненты её скорости
u+
δα
δt
𝑑σ,
v+
δβ
δt
𝑑σ,
w+
δγ
δt
𝑑σ.
(10)
Рассмотрим первую из этих слагающих. В силу уравнения (7) мы можем написать её так:
u+
∂u
∂x
α
𝑑σ+
∂u
∂y
β
𝑑σ+
∂u
∂z
γ
𝑑σ,
(11)
или
u+
∂u
∂x
𝑑x
𝑑σ