Ведь суть иррационального числа — соизмерять несоразмерное.
Греческие мыслители внимательно и тщательно изучали иррациональные числа. Постигая гармонию сфер и правильных фигур, греческая цивилизация сделала следующий шаг. Греки обратили внимание на такое качество окружающих их вещей и явлений, как симметрия. Греческое слово ΣYM-METPIA означает «совместно измеренное». Греки интуитивно угадывали, что такое качество, как иррациональность чисел и такое качество, как симметрия структур, оба имеют отношение к процессу «совместного измерения».
Пророчество пифагорейцев
Пифагорейцы, быть может, первыми осознали силу числа — символа в его самом чистом виде. Пифагорейцам открылось, что число, будучи по существу виртуальным и воображаемым, не менее реально, чем любой существующий предмет или любое имевшее место явление. И пифагорейцы обнаружили числа не только в том, что можно рассмотреть, но и в том, что можно расслышать. Пифагорейцы искали и находили гармонию чисел во всем: в образах, в звуках, в логике и мистике.
Их не могла не тревожить задача о «квадратуре круга». Построить квадрат той же площади, что и круг, с помощью циркуля и линейки пифагорейцам никак не удавалось. Главная причина была в том, что им мешали странные числа, которые не сводятся к отношению двух целых чисел. Эти числа мы называем иррациональными.
Иррациональные числа пугали пифагорейцев. Их древняя мудрость остерегает открывать эти числа неподготовленным, ибо кто коснется тайны этих чисел, тот погрузится в «пучину возникновения и будет обмываемым ее волнами, не знающими покоя». В схолиях к X книге «Начал» Евклида приведена пифагорейская легенда о гибели при кораблекрушении Гиппаса Месопотамского, разгласившего, что отношение диагонали к стороне квадрата не может быть выражено в виде отношения двух натуральных чисел, то есть является иррациональным. И силу этого пророчества через несколько столетий испытал на себе Фидий. Фидий, открывший самое известное иррациональное число sectia aurea — «золотое сечение», — скончался в изгнании, обвиненный противниками Перикла в том, что присвоил часть золота для статуи Афины, а также изобразил на щите Афины среди прочих себя. Все это мистическим образом подтверждало предостережение пифагорейцев.
Что же такое иррациональное число? Величина корня из двух — быть может, простейшее иррациональное число. Оно представляет собой решение простого квадратичного уравнения
Мы регулярно сталкиваемся с ним при использовании листов формата А — A3, А4, А5, но мало кто знает, что их соразмерность достигается притом, что их стороны друг с другом несоизмеримы. Нельзя найти такой меры длины, которая укладывалась бы целое число раз по периметру всех известных форматов. И это связано с тем, что соотношение сторон листов формата А равно иррациональному числу 1,4142... Так, для формата А4 это 210х197 мм: 210/197 = 1,4142... Для формата А5 — 197x148 мм: 197/148 = 1,4142... и так далее. При этом, как видно из рисунка, все форматы соразмерно размещаются на листе мастер-формата АО.
Иррациональных чисел существует великое множество. В общем, иррациональное число — это вещественное число, которое не может быть представлено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Многие иррациональные числа нам хорошо знакомы.
Так, если бы «Оскара» стали присуждать иррациональным числам, то, вне сомнений, больше всего их соберет число π — отношение длины окружности к ее диаметру.
И эта вездесущесть числа π связана с тем, что окружность есть самая симметричная из всех симметричных фигур.
Симметрия и суперсимметрия
Вскипятите его, остудите во льду
И немножко припудрите мелом,
Но одно безусловно имейте в виду:
Не нарушить симметрию в целом!
Симметрии пронизывают все вокруг. Их много. Они разные. По большей части они скрыты от глаз. Человек распознал симметрию, как и красоту, когда стал осознанным, когда австралопитек стал Homo Sapiens. Благодаря шестому чувству — сознанию — человек стал различать символическую структуру вещей и явлений. Это случилось более тридцати тысяч лет тому назад. Появились зарубки на костях бабуина. Появилась пещерная живопись. И вскоре появился орнамент. Он появился уже в палеолите. Геометрическим узором покрыты браслеты, всевозможные фигурки, вырезанные из бивня мамонта. Первые орнаменты — это множества абстрактных зигзагообразных линий. Орнамент радикально отличается от блестящих по реализму пещерных рисунков. Изучив с помощью увеличительных приборов структуру среза бивней мамонта, исследователи заметили, что они по своей природе состоят из зигзагообразных узоров, очень похожих на зигзагообразные орнаменты. Таким образом, человек создал орнамент, когда увидел и распознал структуру, созданную самой природой. Но древние художники не только копировали природу, они вносили в первозданный орнамент новые комбинации и элементы.