Сотворение мира. Миниатюра (Морализованная Библия, Франция, XIII в. Национальная библиотека Австрии, Вена, рукопись №2554)
Фрактал — это
и форма,
и процесс,
и символ.
Фрактал — это нечто пластичное и одновременно цельное. Словами Бенуа Мандельброта:
«Фрактал не оставляет места для скуки, поскольку все время появляется что-то новое, но и не дает нам заблудиться, так как нечто знакомое возвращается снова и снова».
Фрактал настолько пластичен, что способен совместить случай и строгий расчет в одном объекте, для которого Майкл Барнсли придумал название «суперфрактал». Тонкая фратальная изменчивость позволяет инкорпорировать в алгоритм построения фрактала генератор случайных возмущений и не разрушить при этом предопределенность фрактальной формы. Это оказывается возможным при том условии, что случайность в алгоритме построения фрактала подчинена строжайшей дисциплине.
Случайность в алгоритме построения фрактала должна быть зажата «двойной клешней» строгих правил.
Примерами могут служить фракталы Майкла Барнсли, полученные с помощью систем итерированных функций. Они в большинстве случаев построены при помощи вероятностной случайности. В книге «Фрактал: между мифом и ремеслом»[Деменок С. Л. Фрактал: между мифом и ремеслом.— СПб.: ООО «Ринвол: Академия исследования культуры, 2011.] (2011) было впервые описано семейство алеаторных фракталов, построенных по алгоритмам, содержащим «чистую» случайность. Есть еще стохастические фракталы. Стохастические фракталы могут быть строго детерминированными, как функция Вейерштрассе. В процессе построения таких фракталов нет никакой случайности. Но есть природные стохастические фракталы. Они, как правило, случайные. Это, например, броуновское движение.
Есть более сложные конструкции — суперфракталы. В них правила построения (алгоритмы) изменяются спонтанно.
Структуры, в которых алгоритмы построения фрагментов могут изменяться спонтанно, называются суперфракталами.
Суперфрактал никогда не повторяется, он все время изменяется, не изменяя только самому себе. СУПЕР! Приставка «супер» стала трендом новейшего естествознания. Достаточно вспомнить суперструны и суперсимметрию. Причина такой тяги к приставке «супер» в том, что современная наука выходит за границу естественных вещей и явлений и смещается в область «сверхъестественного» — supernatural. Суперфрактал — объект этой новой волны.
Фрактал — это...
В середине 1970-х Бенуа Мандельброт изложил основы фрактальной геометрии в трех книгах — «Фрактальные объекты: форма, случай и размерность» (1975), «Фрактальная форма, случай и размерность» (1977) и «Фрактальная геометрия природы» (1977). В 1993 году Мандельброт получил престижную премию Вольфа за «изменение нашего взгляда на мир посредством концепции фрактальной геометрии».
Фрактальная геометрия радикально отличается от геометрии Евклида. Отличие не относится к аксиоме о параллельности, как в геометрии Лобачевского. Отличие — в отказе от принятого Евклидом по умолчанию требования гладкости. Мандельброт обратил внимание на то, что контуры окружающих нас предметов неровны, шершавы, изъязвлены множеством отверстий самой причудливой формы, пронизаны трещинами и порами, покрыты сетью морщин, царапин и кракелюров. Распространенным повсеместно, таким объектам присущи шероховатость, пористость и раздробленность.
Среди смятых, скомканных, изрезанных и рваных фигур есть огромный класс форм, раздробленность и пористость которых имеют «одинаковую степень в любом масштабе». Именно эти формы Мандельброт назвал фракталами. Увеличивая фрагменты фрактальных объектов, замечаем, что изменяются лишь незначительные детали, но форма в целом остается почти неизменной. Прорыв, который совершил Мандельброт, заключается в осознании того, что затейливые зигзаги имеют «код формообразования».
В книге «Фракталы, случай и финансы» Мандельброт дал определение фрактала с акцентом на неизменную «степень пористости» фрактального объекта: