На основании сказанного фрактал можно определить так:
Фракталом называется форма, фрагменты которой почти или точно подобны целому (1), процесс построения которой по рекурсивным алгоритмам не имеет завершения (2) и которая имеет универсальный код (инвариант) — фрактальную размерность (3).
Фрактальное подобие
Обычно самоподобие означает симметрию при любом масштабе. Логарифмическая спираль обладает самоподобием, поскольку, как ее ни увеличивай, выглядит всегда одинаково, как и череда вписанных друг в друга правильных пентаграмм.
Каждый раз, когда вы оказываетесь между двух параллельных зеркал, вы видите бесконечную череду собственных самоподобных отражений в двух параллельных зеркалах.
Пример самоподобной системы представляет собой «золотая последовательность». Чтобы создать ее, будем следовать простому алгоритму. Начнем с числа 1, затем заменим 1 на 10. Далее будем заменять все 1 на 10, а все 0 на 1. Тогда у нас получается следующий результат:
1
10
101
10110
10110101
1011010110110
101101011011010110101
И так далее. Очевидно, что мы начали с «ближнего» правила (простое превращение 0 в 1 и 1 в 10), а получили непериодический «дальний порядок». Обратите внимание, что количество цифр 1 в каждой строчке, как и количество цифр 0, начиная со второй строчки, составляют
Более того, отношение числа единиц к числу 0 по мере удлинения последовательности становится все ближе... «золотому сечению».
«Золотая последовательность» обладает множеством замечательных свойств, но сейчас нас интересует самоподобие. Так вот, «золотая последовательность» самоподобна при любом масштабе. Возьмем последовательность
Посмотрим на нее в лупу, конечно, не в буквальном смысле. Начнем слева и каждый раз, когда нам встретится 1, будем помечать группу из трех символов, а когда нам встретится 0 — группу из двух символов, только так, чтобы группы не перекрывались. Например, первая цифра у нас 1, поэтому мы отметим группу из первых трех символов — 101. Вторая цифра в ряду у нас 0, поэтому мы отметим группу из двух символов 10, следующую за первой группой 101. Третья цифра — 1, значит, отмечаем три цифры 101, которые следуют за 10, и т.д. Теперь размеченная последовательность выглядит так:
А теперь оставим первые две цифры из каждой группы по три и первую — из каждой группы по две. И взглянем на получившуюся последовательность из оставшихся цифр:
Видите? Новый ряд идентичен «золотой последовательности»!
Можно проделать другое упражнение. Скажем, в качестве подпоследовательности выберем 10 и будем подчеркивать это сочетание цифр в «золотой последовательности» везде, где оно встретится:
Если теперь мы будем обращаться с каждым сочетанием 10 как с единым символом и обозначим количество мест, на которые надо сдвинуть каждое сочетание 10, чтобы перекрыть его со следующим 10, то получим последовательность 2122121... (первое 10 надо сдвинуть на два места, чтобы оно наложилось на следующее, третье — на одно место и так далее). Если теперь в получившейся последовательности заменить каждую цифру 2 цифрой 1 и каждую 1 — нолем, мы снова получим «золотую последовательность». В общем, если взять любую закономерность в пределах «золотой последовательности», мы обнаружим, что та же закономерность присутствует в последовательности и при любом уменьшении масштаба.
Самоподобие в строгом классическом смысле есть условие того, что часть представляет собой уменьшенную копию целого. Строгое самоподобие редко встречается в природе. Природные формы представляют собой бесконечную последовательность мотивов, повторяющих самих себя внутри других мотивов на разных масштабах с некоторым искажением. Таковы раковина наутилуса или капуста брокколи. Если отламывать от кочана соцветия брокколи, то кусочки будут все меньше и меньше, они до какого-то предела все равно будут подобием целого кочана. Физические объекты редко оказываются самоподобными при увеличении более чем на четыре порядка. В биологии новые принципы самоорганизации проявляются обычно при увеличении на 2 порядка (макромолекулы имеют диаметр, примерно равный 100 атомам, простые клетки — диаметр около 100 макромолекул и т. д.). С изменением масштаба строгое самоподобие нарушается, но сохраняется некоторый лейтмотив, схожесть не совсем точная, но все-таки заметная. Это и есть нестрогое самоподобие. Нестрогое самоподобие, в свою очередь, есть условие того, что часть может представлять собой деформированную копию целого. Мандельброт отказался от строгого формализма и сформулировал условие, согласно которому фрактальное подобие не требует абсолютной идентичности. Енс Федер в книге «Фракталы» (1988) со ссылкой на частную беседу с Мандельбротом привел определение фрактала с акцентом на нестрогое самоподобие: