Ничего не напоминает?
Ну конечно, это же самоподобная «золотая последовательность»!
Из рисунка очевидно, что количество юных пар подчиняется в точности той же последовательности со сдвигом на один месяц. То есть количество юных пар равно
Естественно, общее количество пар — сумма этих последовательностей, и оно совпадает с последовательностью для количества взрослых пар без числа за первый месяц:
Последовательность, в которой каждое число, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих чисел, представляет собой ряд Фибоначчи:
Условие, согласно которому каждый член последовательности Фибоначчи равен сумме двух предыдущих членов, математически выражается формулой, которую в 1654 году вывел Альбер Жирар:
Здесь n — это номер члена последовательности (например, u3 — это третий член последовательности), un+1— это следующий за ним член последовательности (то есть если n = 3, то n+1=4), а un+2 — это член последовательности, следующий за un+1, то есть пятый член последовательности Фибоначчи.
Рекурсивная функция Фибоначчи применяется сама к себе, не отсылая к начальному значению. Она как бы скользит по ряду чисел, и каждый результат предыдущей итерации становится начальным значением для следующей. Именно такое повторение реализуется при построении фрактальных форм.
Фрактальная размерность
Во фрактальном мире повторение, встроенное в процесс построения фракталов, производит эффект одинаковой «изрезанности», или «сморщенности» фрактальных фрагментов и фрактала в целом.
Мандельброт задался вопросом: как определить меру изломанности фрактальной структуры?
В мире евклидовой геометрии у любого предмета есть измерения. У точки число измерений — ноль, у прямой — одно, у плоских фигур вроде треугольников и пятиугольников — два, у объемных тел — три. А фрактальные кривые вроде молнии так агрессивно изгибаются, что попадают куда-то между одним и двумя измерениями. Если след молнии относительно гладкий, можно представить себе, что число фрактальных измерений близко к единице, если же он очень извилистый, следует ожидать числа измерений, близкого к двум.
Все эти размышления вылились в вопрос, сделавшийся в наши дни знаменитым:
«Какова длина побережья Британии ?»
Мандельброт дал на это неожиданный ответ:
«Длина береговой линии, оказывается, зависит от длины линейки, которую возьмет измеряющий».
Представьте себе, что вы начинаете со спутниковой карты Британии со стороной в один фут. Измеряете длину побережья, умножаете на нужный коэффициент, исходя из заданного масштаба карты. При таком методе, разумеется, пропадут всякие мелкие извивы береговой линии, которых на карте не видно. Теперь представьте себе, что вы вооружаетесь палкой метровой длины и начинаете долгое путешествие вдоль берегов Британии, тщательно измеряя береговую линию метр за метром. Результат, несомненно, будет гораздо больше прежнего, поскольку вам удастся зафиксировать куда более мелкие извивы и повороты. Однако вы наверняка заметите, что на более мелких участках вы все равно упустите какие-то подробности. Дело в том, что чем меньше будет наша линейка, тем больше окажется результат измерений, потому что всегда оказывается, что при уменьшении масштаба выявляется подструктура. Из этого следует, что, если имеешь дело с фракталами, в пересмотре нуждается даже концепция длины как средства передачи расстояния. Контуры береговой линии при увеличении не становятся прямыми, изгибы присутствуют при любом масштабе, и общая ее длина возрастает бесконечно — по крайней мере, пока мы не дойдем до атомов.
Зависимость длины фрактальной кривой от масштаба измерения
Прекрасный пример такой ситуации — линия «снежинки Коха». «Снежинка Коха» — кривая, которую первым описал в 1904 году шведский математик Нильс Хельге фон Кох. Начертим равносторонний треугольник со стороной в один сантиметр. Теперь в середине каждой стороны достроим треугольники поменьше — со стороной в одну треть сантиметра. В результате на этом этапе у нас получится звезда Давида. Обратите внимание, что периметр первоначального треугольника составлял три сантиметра, а теперь он состоит из двенадцати сегментов по трети сантиметра каждый, так что общая его длина равняется уже четырем сантиметрам. Теперь будем последовательно повторять эту процедуру — на каждой стороне треугольника будем достраивать новый с длиной стороны в одну треть предыдущей. Каждый раз длина периметра будет возрастать с коэффициентом 4/3, и так до бесконечности, несмотря на то что линия ограничивает замкнутое пространство конечной площади (можно доказать, что площадь стремится к 8/5 площади первоначального треугольника).