Мандельброт сформулировал вопрос:
«Насколько быстро увеличиваются длина, площадь или объем, если измерять их на непрерывно уменьшающемся масштабе?»
Мандельброт понимал, что эта скорость равна степени извилистости фрактальной структуры. Такое интуитивное представление кажется очевидным. Продолжая поиски степени извилистости фрактальных форм, Мандельброт пришел к идее, которая далеко не очевидна. Он обнаружил, что степень извилистости описывает размерность Хаусдорфа — Безиковича.
Еще в 1919 году Феликс Хаусдорф выдвинул концепцию дробных измерений. Хотя поначалу подобная идея вызывает некоторую оторопь, оказалось, что именно дробные измерения — прекрасный инструмент, позволяющий охарактеризовать степень неправильности, или фрактальную размерность.
Интуитивно мы чувствуем, что кривая Коха занимает больше пространства, чем одномерная линия, но меньше, чем двухмерный квадрат. Но разве так бывает, чтобы у чего-то было дробное измерение? Ведь между 1 и 2 нет никаких целых чисел. Чтобы получить внятное объяснение, возьмем за основу знакомые представления о целочисленных измерениях, так называемой топологической размерности — 1, 2 и 3. Идея Хаусдорфа в интерпретации Марио Левио заключается в том, что одно и то же деление измерений на части в одномерном, двухмерном и трехмерном пространствах производит разную степень дробления одномерных, двухмерных или трехмерных объектов.
Например, если разделить одномерный отрезок пополам, то получим два сегмента (коэффициент сокращения ƒ = 1/2). Если разделить двухмерный квадрат на «подквадраты» с половинной длиной стороны (коэффициент сокращения опять же ƒ = 1/2), то получим 4 = 22 квадрата. Если же мы возьмем длину стороны в 1/3 первоначальной (ƒ = 1/3), квадратов станет 9 = З2. Если же мы поступим так же с трехмерным кубом, то деление ребра пополам (ƒ = 1/2) даст нам 8 = 23 кубиков, а ребро в 1/3 первоначального — 27 = 33 кубиков. Если изучить все эти примеры, обнаружим, что между количеством «фрагментов» n, коэффициентом сокращения длины ƒ и измерением D есть определенная взаимосвязь. И вот какая:
Если применить эту формулу к «снежинке Коха», получится фрактальное измерение, равное
Ремесленники издавна использовали этот подход на практике. Так, для измерения площади фигуры сложной формы они использовали палетку. Палетка — это прозрачная пластина, на которой нанесена сетка с квадратными ячейками, стороны которых одинаковы и равны некоторой величине δ. Если такую сетку наложить на карту Великобритании и подсчитать количество клеток, попавших в область объекта измерения, то можно оценить его площадь, которая пропорциональна количеству ячеек, попавших в его границы. Точность оценки возрастает с уменьшением шага сетки. Число ячеек, попавших в границы измеряемого объекта N, возрастает с уменьшением стороны ячейки 8. При измерении площади
При аналогичном измерении длины извилистой кривой
а при аналогичном измерении объема некоторого тела
Степень в этих отношениях указывает на топологическую размерность, не правда ли? Однако эта степень не обязана быть целым числом. Она может быть дробной.
Рассмотрим пример. Пусть подопытная частица помещена в прозрачный раствор. Мысленно представим, что в процессе движения она растворяется, оставляя след, который проецируется на плоскость. Вначале там появится ломаная траектория, размерность которой легко определить с помощью палетки. Как у всякой кривой, она будет равна 1. После продолжительного броуновского блуждания в замкнутом объеме траектория полностью «заштрихует» проекцию — не останется ни одного видимого просвета. Размерность такой заполненной траекторией области будет равна 2. Между этими пределами мы можем зафиксировать промежуточное состояние, в котором траектория броуновской частицы уже перестала напоминать линию, но еще не заполнила плоскость. В этот момент она напоминает паутину, которая постоянно уплотняется. Размерность такой паутины принимает промежуточное значение между 1 и 2.