Именно такое обобщенное понятие размерности предложил Хаусдорф. Результатом работ Хаусдорфа и Безиковича стало новое техническое определение размерности, согласно которому при уменьшении величины δ размерность измеряемого объекта равна отношению логарифма от N к логарифму от 1/δ. По существу это показатель степени q в формуле
Такое отношение запросто может быть не только целым, но и дробным, притом что топологическая размерность — всегда целое число — 1, 2, 3.
Суть рассуждений Хаусдорфа и Безиковича заключается в следующем. Пусть у нас есть пластичная универсальная палетка, которая для одномерного объекта трансформируется в отрезок, для двумерного — в квадрат, а для трехмерного — в куб. Мерой ячейки этой палетки будут: для одномерного объекта — длина δ1, для двумерного — площадь δ2, и для трехмерного — объем δ3. В обобщенном случае мерой ячейки является величина δd. Мерой объекта, покрытого такими ячейками, является, очевидно, величина N — число ячеек, соприкасающихся с измеряемым объектом. При условии, что размер ячейки 8 уменьшается, стремясь к нолю, величина
Таким образом, мера N зависит от выбранной наблюдателем размерности палетки — от величины d. Вместе с тем мы видели, что число ячеек N, соприкасающихся с измеряемым объектом, есть величина, обратно пропорциональная размеру ячейки δ в некоторой степени q:
Величина q при этом характеризует структуру измеряемого объекта и не имеет отношения к палетке наблюдателя. Оба условия совмещаются, если
To есть
Знак «~» означает «пропорционально» и может быть заменен знаком равенства при умножении комплекса δd-q на некоторую константу — const:
При δ → 0:
если d - q > 0,
величина N → 0,
а если d - q < 0,
то величина N → ∞. Только при
мера N принимает конечное значение, равное постоянной const, которое и называется размерностью Хаусдорфа — Безиковича. Это своего рода условие, при котором совпадают меры измеряемого и измеряющего объектов.
В практических расчетах для определения размерности Хаусдорфа — Безиковича используются упрощения, вполне обоснованные для большинства сложных форм. Так, на основании приведенной выше формулы
размерность d может быть представлена отношением ln(N) к ln(δ). Рассчитать размерность d можно по двум точкам (N1, δ1)и (N2, δ2):
Алгоритм определения фрактальной размерности обычно сводится к следующему. Строится график зависимости N от δ в логарифмических координатах. Точки на графике обычно ложатся на отрезок прямой, угол наклона которой и равен d (см. рисунок). Например, размерности прибрежных пограничных кривых для западного побережья Норвегии — 1,52; для Великобритании (линия 1) — 1,25; для Германии (линия 2) — 1,15; для Австралии (линия 3) — 1,13; для сравнительно гладкого побережья Южной Африки (линия 4) — 1,02 и, наконец, для идеально гладкой окружности (линия 5) — 1,0.
Размерность Хаусдорфа — Безиковича отличается от евклидовой. Она может принимать нецелые значения. Она неизменна (инвариантна) при рассмотрении объекта «вблизи или издалека». Будучи трансмасштабной, она не имеет отношения к геометрии фрагмента или фрактала в целом. Фрактальная размерность, если она отражает геометрию, то прежде всего геометрию трансформации фрагмента при переходе от одного масштаба к другому.
Обратим внимание на то, что дробная размерность не имеет ничего общего с «дырами» в пространстве. Дробность связана с тем, как сетка наблюдателя соотносится со структурой объекта наблюдения.
Как бы ни приближались друг к другу меры измерения и измеряемого, между ними всегда возможно некоторое различие. Различие проявляет себя в дробной размерности, выраженной рациональными или иррациональными числами. Появление последних говорит о несоразмерности мер измеряющего и измеряемого, но это не исключает их соизмеримости.