Есть такой феномен: состоит он в непостижимой эффективности математики в естествознании. Ведь фактически, для описания физического мира физики используют язык именно математики!
Поставили вопрос о сущности этого феномена давно. Но только в двадцатом веке начали вырисовываться намётки на её решение.
Какой главный вопрос в описании мира нужно поставить, чтобы хотя бы начать его описывать?
Вопрос чисто геометрический -- как определить расстояние между двумя точками.
В школьной геометрии он решается очень просто -- через теорему Пифагора. Помните? "Квадрат гипотенузы, равен сумме квадратов катетов". Но ведь если мы перейдём к трём измерениям, там также, квадрат расстояния между точками, будет задаваться суммой квадратов по трём измерениям. Икс-квадрат, плюс игрек-квадрат, плюс зет-квадрат, равно эс квадрат.
Наш мир, который фиксируется нашими органами чувств и приборами -- четырёхмерный. Три -- пространственных измерения, и плюс одно -- время. Какого-то пятого измерения никто и никогда не видел и не фиксировал. Отсюда, если мы можем задать расстояние в этих четырёх измерениях -- мы можем описать мир. Что и делает квадратичная метрика, которую и называют метрикой Минковского.
Физический мир!
И описать МАТЕМАТИЧЕСКИ.
Как можно представить, например, знаменитую теорию гравитации Эйнштейна?
Как теорию, содержащую в себе самодостаточную геометрию! Геометрию четырёхмерного мира. Зная такую геометрию, можно найти уравнения движения материальных объектов. Но более того, зная такую геометрию, мы можем написать уравнения поля. То есть, зная эту самую, псевдо-риманову геометрию, лежащую в основе той теории, нам по сути ничего больше знать не надо. Всё есть: есть уравнения движения частиц, есть уравнения поля, и есть геометрия, которая охватывает и первое, и второе.
Но оказывается, что физическому миру соответствует не одна геометрия, а несколько. И вопрос в том, какую и на каком физическом уровне -- микрочастиц или там, галактик -- надо применять. Получается, в зависимости от тех задач, которые мы решаем, надо выбирать и свою геометрию.
И тут наши физики налетели всей грудью на проблему: для создания "теории всего", Великого Грааля современной физики, - Единой Теории Поля(7) -- понадобилось вводить дополнительные пространственные измерения. А это очень сильно противоречит главному принципу науки, принципу Оккама: "не создавай сущностей сверх необходимости". А дополнительные сущности, которых никто не видел и основания для их введения очень зыбки -- очень скверно.
И тут на сцену выступаем мы -- математики.
Вы знаете что такое комплексное число?
Если вы не учились в вузе на естественнонаучном направлении, почти наверняка нет.
Родилось это "число" из древнего, чисто алгебраического решения -- нахождения корней кубического уравнения. И известно оно как решение Кардано (Да-да! Того самого, который придумал "карданный вал"). И именно этот математик ввёл в обиход числа, квадрат которых равен отрицательному числу.
В основе этих чисел, так называемая "мнимая" единица (i). Если её возвести в квадрат, то получим -1(минус единицу). Комплексные же числа, что лежат в основе решения Кардано, записываются как сумма действительной и мнимой части: х=а+i*b. И из этого числа вытекает целая алгебра -- алгебра комплексных чисел.
Неожиданно оказалось, что эти числа описывают... геометрию на плоскости! Через них оказалось возможным описать и положение точки в пространстве и много чего ещё, характерного для "обычной" геометрии. То есть в области комплексных чисел неожиданно встретились алгебра и геометрия. И оказалось, что слишком много можно описать числами того, что есть в окружающем мире. Ведь есть геометрия? Значит можно описывать!
Однако обычное комплексное число описывало только двухмерное пространство.
Но тут проблема - наше пространство четырёхмерное. А простое комплексное число описывает плоскость. Значит, надо ввести... дополнительные компоненты. И именно так, появился сначала кватернион -- x=a+i*b+j*c+k*d, (где a,b,c,d - вещественные числа, а i,j,k- мнимые единицы), а через них и гиперкомплексные числа вообще.
Фокус был в том, что именно гиперкомплексные числа давали уже "нормальную" геометрию.
Исследованиями этих геометрий, вытекающих из гиперкомплексных чисел, впервые капитально занялся Финслер. Отсюда и "Финслерова геометрия".