Глава 2
Итак, в шестеричном числе мы встречаем первое совершенное число, совершенное в том смысле, что оно составляется из своих (целых) частей. В других отношениях бывают и другие совершенные числа. Шестеричное же число, как мы заметили, совершенно в том отношении, что составляется из своих частей, но только таких частей, которые, если их сложить, дают в сумме то число, частями которого они служат. Но при этом важно указать, каковы эти части. Так, например, число три можно называть частью не только шести, половиной которого оно является, но и всех вообще чисел, которые больше трех. Причем для четырех и пяти оно будет большей половиной, ибо четыре можно разделить на три и один, а пять – на три и два, а для семи, восьми, девяти и т. д. – меньшей; так, семь можно разделить на три и четыре, восемь – на три и пять, девять – на три и шесть. Но ни об одном из этих чисел нельзя сказать, какую часть каждого из них составляет три, за исключением только девяти, для которого три – третья часть, как для шести – половина. Таким образом, ни одно из названных чисел, за исключением шести и девяти, не состоит из нескольких троек, шесть же состоит из двух, а девять – из трех троек.
Итак, число шесть, как я уже сказал, составляется из своих сложенных вместе (целых) частей. Есть числа, сумма частей которых больше или меньше этого числа, и лишь у немногих эта сумма совпадает с самим числом. И первое среди таких чисел – шесть. Так, единица не имеет никаких частей, т. е. это – простое число. Частью двух служит единица, причем она – половина двух; других частей двойка не имеет. У тройки две части, но только единица составляет третью часть, о двойке же нельзя сказать, какую (целую) часть трех она составляет; поэтому части тройки не могут быть названы теми частями, о которых у нас идет речь. Далее, четыре также имеет две части: единицу – четвертую часть, и двойку – половину; но сумма этих частей меньше четырех. У пятерки три части: единица, двойка и тройка, но только о единице можно сказать, что она – одна пятая часть пяти. У шести те же три части: единица, двойка и тройка, но о всех них можно определенно сказать, какие это части, а именно: единица – шестая, двойка – третья и тройка – половинная. В сумме же эти части составляют шесть.
Число семь имеет только одну такого рода часть – единицу. Восемь – три: восьмую, четвертую и половинную, но в сумме эти части дают семь. У девяти две части: девятая и третья, но их сумма, четыре, гораздо меньше девяти. У десяти три части: десятая – единица, пятая – два и половинная – пять; сумма этих частей – восемь. Число одиннадцать имеет только одну (целую) часть – одиннадцатую, как семь – седьмую, пять – пятую и три – третью. Сумма же частей числа двенадцать больше этого числа и равняется шестнадцати; части двенадцати таковы: двенадцатая – единица, шестая – двойка, четвертая – тройка, третья – четверка и вторая – шестерка; их сумма – шестнадцать.
Словом, в бесконечном ряду чисел встречается немало таких, которые имеют только одну часть, например, три, пять и т. п., или таких, сумма частей которых или меньше самого числа, например, восемь, девять и т. п., или больше, например, двенадцать, восемнадцать и т. п. Таких чисел несравненно больше, чем т. н. совершенных, составленных их своих (целых) частей. Так, после шести следующим совершенным числом будет только число двадцать восемь, имеющее пять частей: двадцать восьмую, четырнадцатую, седьмую, четвертую и вторую, т. е. единицу, двойку, четверку, семерку и число четырнадцать, каковые части, сложенные вместе, дают число двадцать восемь. И чем дальше вести отсчет, тем реже встречаются совершенные числа. Если сумма частей числа меньше этого числа, оно называется несовершенным, а если больше – более, чем совершенным.