Отображение срыва и гауссово отображение пучка имеют особенности в точности на той линии, где направление геодезической пучка асимптотическое. Эти особенности оказываются складками в общих точках и сборками в особых точках, где направление кривой асимптотическое (О. А. Платонова).
Многозначная функция времени также имеет особенность в точках, соответствующих асимптотическому срыву. При подходящем выборе системы гладких координат функция времени приводится к виду Т = х — у5/2 в окрестности общей точки особой поверхности у = 0. Иными словами если отметить на каждом срывающемся луче точку, отвечающую пути длины Т, то эти точки образуют поверхность фронта с ребром возврата, локально задающуюся уравнением х2 = у5 (рис. 72).
Рис. 72. Типичная особенность фронта в задаче об обходе препятствия: ребро возврата вой — клюв степени 5/2
Аналогичный результат получается в плоской задаче (в этом случае фронты называются эвольвентами и имеют особенность типа х2 = у5 в точках касательной перегиба (рис. 73)).
Рис. 73. Типичная особенность эвольвенты плоской кривой — клюв степени 5/2 на касательной перегиба кривой
Фронт пространственной задачи в особой точке (точке сборки гауссова отображения пучка) локально задается уравнениями
х = u, y = υ3 + uυ, z = (135υ4 +189uυ2 + 70u2)υ3,
где (u, υ) — параметры, (х, у, z) — криволинейные координаты в пространстве с началом в не лежащей на поверхности препятствия точке особого асимптотического луча.
14. Симплектическая и контактная геометрии
Многие вопросы теории особенностей (например, классификация особенностей каустик и волновых фронтов, а также исследование всевозможных особенностей в задачах оптимизации и вариационного исчисления) становятся понятными только в рамках геометрии симплектических и контактных многообразий, освежающе непохожей на обычные геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.
Начнем с трех примеров особенностей специального вида.
1. Градиентное отображение. Рассмотрим в евклидовом пространстве гладкую функцию. Градиентным отображением называется отображение, сопоставляющее точке значение градиента функции в ней. Градиентные отображения — весьма специальный класс отображений пространств одинаковой размерности.
Особенности градиентных отображений общего положения отличны от общих особенностей отображений пространств одинаковых размерностей: их "меньше" потому, что не всякое отображение можно реализовать как градиентное, но "больше" потому, что явление, не типичное для общих отображений, может быть типичным для градиентных.
2. Нормальное отображение. Рассмотрим множество всех векторов нормалей к поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Сопоставим каждому вектору его конец (вектору р, приложенному в точке q, сопоставляем точку р + q). Мы получаем отображение трехмерного многообразия векторов нормалей в трехмерное пространство (n-мерного в n-мерное, если начать с подмногообразия любой размерности в n-мерном евклидовом пространстве).
Это отображение называется нормальным отображением исходного многообразия. Особенности нормальных отображений подмногообразий общего положения составляют специальный класс особенностей отображений пространств одинаковой размерности. Критические значения нормального отображения образуют каустику (геометрическое место центров кривизны) исходного подмногообразия: см. рис. 33, где исходное многообразие — эллипс.
3. Гауссово отображение. Рассмотрим двустороннюю поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Перенесем единичные векторы положительных нормалей из каждой точки поверхности в начало координат. Концы этих векторов лежат на единичной сфере. Полученное отображение поверхности на сферу называется гауссовым отображением.
Гауссовы отображения составляют еще один специальный класс отображений многообразий одинаковой размерности (n — 1, если начинать с гиперповерхности в n-мерном пространстве).
И вот оказывается, что типичные особенности отображений всех этих трех классов (градиентных, нормальных и гауссовых) одинаковы: все три теории — частные случаи общей теории лагранжевых особенностей в симплектической геометрии.
Симплектическая геометрия — это геометрия фазового пространства (пространства координат и импульсов классической механики). Она явилась итогом длительного развития механики, вариационного исчисления и т. д.