92. Набор проходящих через начало координат гладких подмногообразий называется простым, если все близкие наборы исчерпываются конечным списком (с точностью до диффеоморфизма окрестности начала координат). Найдите все простые наборы на плоскости и в трехмерном пространстве.
93. Критическая точка 0 гладкой функции f (x, у) называется простой краевой особенностью (на плоскости с краем х = 0), если все близкие функции исчерпываются конечным списком (с точностью до диффеоморфизма окрестности начала координат, сохраняющего прямую х = 0). Докажите, что простые критические точки функции двух комплексных переменных исчерпываются списком
Вk = хk + y2 (k ≥ 2); Сk = ху + уk (k ≥ 3), F4 = x2 + у3
(уравнение края — х = 0),
Список литературы
К предисловию
Работы Тома, Мазера, Морена и др. собраны в сборнике пере водов: Особенности дифференцируемых отображений. — М.: Мир 1968. — 268 с.
Обсуждаемые в предисловии статьи:
Тюрина Г. Н. Топологические свойства изолированных особенностей комплексных пространств коразмерности один // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1968. — Т. 32. — С. 605 — 620.
Nye J. F., Hannay J. Н. The orientation and distortion of caustics in geometrical optics // Optica Acta. — 1984. — V. 31, № 1. — P. 115 — 130.
Чеканов Ю. В. Каустики геометрической оптики // Функцион. анализ и его прил. — 1986. — Т. 20, вып. 3. — С. 66 — 69.
О гипотезе Тома:
Thom R. Topological models in biology // Topology. — 1969. V. 8. — P. 313 — 336.
Guckenheimer J. Bifurcation and Catastrophe // Proc. Internat. Sympos. in Dynamical Systems (Salvador, 1971) / Ed. M. Peixoto. — New York: Academic Press, 1973.
Xeсин Б. А. Бифуркация особых точек градиентных динамических систем // Функцион. анализ и его прил. — 1986. — Т. 20, вып. 3. — С. 94 — 95.
Современные проблемы математики. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 33.- С. 113 — 155. — (Итоги науки и техники).
Монтель об особенностях:
Моntеl P. Sur les methodes recentes pour l'etude des singuliarites des fonctions analytiques // Тр. I Всесоюзного съезда математиков (Харьков, 1930). — М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. — С. 36 — 57.
К разделам 1 — 5
Обширная библиография имеется в следующих источниках:
Постон Т., Стюарт Й. Теория катастроф и ее приложения.- М.: Мир, 1980. — 608 с.
Арнольд В.И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. I. — М.: Наука, 1982.- 304 с. Т. II. — М,: Наука, 1984. — 336 с.
Zeeman Е. С., B.W.W. 1981 Bibliography on Catastrophe Theory. — Coventry: University of Warwick, 1981. — 73 p.
Арнольд В. И. Особенности систем лучей // Успехи мат. наук. — 1983. — Т. 38, вып. 2. — С. 77 — 147.
Современные проблемы математики. — М.: ВИНИТИ, 1983. — Т. 22. — 244 с. — (Итоги науки и техники); 1988. — Т. 33. — 236 с. — (Итоги науки и техники).
Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1986. — Т. 5. — 284 с.; 1988. — Т. 6. — С. 256, 1989. — Т. 39. — С. 256.
Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. — М.: Мир, 1985. — 256 с.
Первая работа по теории особенностей:
Whitney Н. On singularities of Mappings of Euclidean Spaces I. Mappings of the Plane into the Plane // Ann. Math. — 1955. — V. 62. — P. 374 — 410.
Учебники:
Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. — М.: Мир, 1977. — 208 с.
Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. — М.: Мир, 1977. — 296 с.
Джилмор Р. Теория катастроф для ученых и инженеров. — М.: Мир, 1983.
Брюс Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. — М.: Мир, 1988.
Дискуссия о катастрофах:
Thom R. Topological models in biology // Topology. — 1969. — V. 8, № 3. — P. 313 — 335.
Thom R. Stabilite structurelle et morphogenese. — New York: Benjamin, 1972. — 362 p.
Thom R. Catastrophe Theory: Its present state and future perspectives // Dynamical Systems. Warwick, 1974. — Berlin — Heidelberg — New York: Springer-Verlag, 1 — 75. — P. 366 — 372. Lecture Notes Math. V. 468.
Zeeman E. C. Catastrophe theory: a reply to Thom // Loc, cit. P. 373 — 383.
Zeeman E. C. Catastrophe theory: Selected Papers. 1972. — 1977. Addison-Wesley. Reading Mass. 1977.
Guckenheimer J. The Catastrophe Controversy // Math. Intell. 1978. — V. 1. — P. 15 — 20.
Fussbudget H. J., Znarler R. S. Sagasity theory. A. Critique // Math. Intell. — 1979. — V. 2. — P. 56 — 59.
К разделу 6
Диссертация Пуанкаре:
Poincare Н. Sur les proprietes des fonctions definies par les equations aux differences partielles Paris.: G. V. 1879, Oeuvres de Henry Poincare, Tome I, Paris: Gauthier — Villars. 1951, XLIX — CXXIX.
Диссертация содержит, между прочим, теорему о версальных деформациях для нульмерных полных пересечений (лемма IV на стр. XI) и метод нормальных форм.
Работы Андропова по теории структурной устойчивости и теории бифуркаций были представлены уже в докладе: