Вони показали, що, наприклад, при вивченні розділу “Лінійна алгебра” типовими помилками для груп МО є:
1) при розкриванні визначника за стовпцем або рядком не завжди враховуються знаки алгебраїчних доповнень;
2) при розв’язуванні системи рівнянь методом Крамера не на належне місце ставиться стовпець вільних членів при обчисленні D x , D y , D z ;
3) при розв’язуванні методом Гауса використовують при обрахунках не потрібний, а вище розташований рядок, в результаті чого псується вже досягнуте;
4) при знаходженні оберненої матриці не враховують знаків алгебраїчних доповнень;
5) при обчисленні оберненої матриці ділять приєднану матрицю не на | A|, а на (–1).
Для групи ОА найбільш характерними є помилки 1) та 4).
Випадковими помилками є для МО:
1) помилки в обрахунках;
2) неправильний вибір деяких чисел при складанні мінорів елементів;
3) при знаходженні оберненої матриці інколи забувають, що вихідну матрицю треба транспонувати.
Для груп ОА найбільш характерними є помилки 1) та 3).
При вивченні розділу “Аналітична геометрія в просторі та на площині” для груп МО найбільш типовими помилками були:
1) неврахування знаку модуля в формулах пошуку відстаней та об’ємів, в результаті чого може бути отриманий від’ємний результат;
2) при пошуку площі трикутника через векторний добуток в кінці забувають врахувати множник ½;
3) неправильне винесення множників з-під кореня;
4) неправильно рахують координати векторів;
5) роблять помилки у визначенні A, B, C, Dв неповному рівнянні площини.
Випадковою помилкою при вивченні цього розділу було не записування вільного члена в чисельнику формули відстаней від точки до прямої або площини.
Для груп ОА відповідно типовими є помилки 1) та 3), а випадковою помилкою було неврахування додатності квадратів від’ємних чисел.
При вивченні розділу “Ряди” типовими помилками для груп МО були:
1) неправильне утворення n+1-го елемента при застосуванні ознаки Д’Аламбера;
2) неправильне скорочування різних факторіалів в чисельниках та знаменниках;
3) помиляються в ознаці порівняння – при якому kузагальнений гармонійний ряд є збіжним, при якому – ні;
4) заміна коренями інших ступенів в ознаці Коші;
5) використання не тієї ознаки;
6) не повністю досліджують на умовну збіжність, забувають використати ознаку Лейбніца;
7) не дописують, що ряд збігається саме абсолютно;
8) неправильно роблять висновок, при якому qв ознаках Д’Аламбера та Коші ряд є збіжним.
Випадковими помилками є описки типу: “Область збіжності ряду – інтервал (–1; –9]”.
Для групи ОА типовими є помилки 6), 7), 8), а випадковими є помилки типу “”, інколи студенти не впізнавали другу чудову границю .
При вивченні розділу “Невизначений інтеграл” групою ОА-2 типовими помилками є:
1) неправильне записування знаменника дробу 3-го типу при інтегруванні дробово-раціональних виразів;
2) неправильне застосування табличних інтегралів;
3) подавання інтегралу добутку як добутку інтегралів;
4) не враховується знак “мінус” при пошуку площі криволінійної трапеції, якщо фігура або її частини знаходяться нижче осі ОX.
Частою випадковою помилкою є недописування Cпри знаходженні невизначених інтегралів.
На нашу думку, основними недоліками, які заважають найбільш продуктивному навчанню, є недостатня кількість годин практичних занять і відсутність годин на індивідуальні заняття, слабкий рівень шкільної підготовки, неповна забезпеченість студентів навчальною літературою.
Для подолання труднощів пропонується врахування і можливе усунення вище перерахованих факторів, а також використання умовного поділу студентів на групи за рівнем знань, більш індивідуальна робота саме з цими групами: давати можливість і сильним рухатись при вивченні з властивою їм швидкістю, і слабким дотягуватись до середнього рівня. Наприклад, на початку навчання першою парою можна провести контрольну роботу для заміру залишкових шкільних знань. За її результатами студенти умовно поділяються на групи – слабкі, середні, сильні. На другій парі сильним і середнім на картках даються індивідуальні завдання, що відповідають їхньому рівню підготовки, а викладач працює зі слабкими студентами. В процесі роботи з’ясовується найбільш незрозумілі питання, робиться крок до “підтягування” слабких студентів до середнього рівня. На наступній парі сильні знову працюють індивідуально, викладач працює з “середніми”, а слабкі пишуть контрольну роботу свого рівня. Далі чергуються методики другої та четвертої пари, а на останньому занятті проводиться контрольна робота для всіх (з урахуванням рівня). Крім того, слабким пропонується протягом семестру розв’язати 30 стандартних задач, деякі з яких обов’язково входять в їхню останню контрольну.
Важливе місце відводиться підготовці викладачем студента до інсайту, “ага-розв’язку”. Необхідно давати можливість розкритись здібностям всіх студентів в групі без виключення.
ПРОГРАММА ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА ФУНКЦИИ
ГРИНА ДЛЯ БИСПИНОРНОГО УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
Л.А. Витавецкая
г. Одесса, Одесский государственный экологический
университет
Функция Грина (ФГ) играет важную роль в аппарате математической физики. Ее построение в аналитическом или численном виде является ключевым моментом при решении целого ряда задач как нерелятивистской, так и релятивистской квантовой теории поля [1-4]. Целью нашей работы является построение компактного численного алгоритма вычисления функции Грина релятивистского биспинорного уравнения Дирака с центральным несингулярным потенциалом и комплексной энергией и его реализация в виде комплекса программ с использованием метода Иванова-Ивановой (см. напр. [3]).
Искомая ФГ определяется как решение неоднородного уравнения Дирака (УД):
(1)
где – Дираковский гамильтониан [2]:
(2)
где ζ– энергетический параметр, V( r) – центральный потенциал. В теории стационарных состояний ζ– действительное число 0< ζ<∞. Математический смысл ζ-энергия частицы в виртуальном состоянии. В задачах рассеяния возникает необходимость рассматривать ФГ с комплексным параметром ζ[3, 4]. Традиционный подход вычисления ФГ УД с центральным потенциалом связан с выделением радиальной и угловой частей. Для радиальной части используется парциальное разложение, записанное в виде произведения так называемых регулярной и нерегулярной функций Уиттекера Mи W. Далее для Wи Mиспользуется разложение в ряд Тейлора, который суммируется в отдельном блоке программы. Такой подход имеет два существенных недостатка: вычисление функции Уиттекера в отдельном блоке увеличивает размерность вычислительной процедуры и ряд Тейлора для больших rобладает плохой сходимостью. В нашем подходе, основывающемся на методе Иванова-Ивановой (см. напр. [3]) искомые трудности отсутствуют.
После выделения радиальной части ФГ ключевой становится задача решения неоднородного радиального УД с широким интервалом изменения параметра ζ. Радиальное уравнение в матричном виде
Здесь χ– квантовое число Дирака. Для угловых частей известны точные аналитические выражения, в которых учтено суммирование по моментным проекциям виртуальных состояний [2]. Радиальную часть ФГ можно стандартно выразить в виде комбинации двух фундаментальных решений однородного уравнения Дирака. С помощью фундаментальных решений элементы G ij ФГ представляются в виде:
Здесь fи g– большая и малая компоненты функции Дирака, N– нормировочный множитель. Знак “~” применяется для обозначения второго фундаментального решения. Для конкретизации задачи предполагаем, что частица движется в сферически симметричном кулоновском потенциале. В таком приближении ее состояние определяется значениями главного квантового числа, полным моментом и четностью. Соответствующие биспиноры имеют стандартный вид [2]: