Таким образом, приходится отказать теореме Кюри в праве быть верховным судьей и налагать запреты на возможность взаимного влияния потоков. С этой задачей отлично справляется сама теория Онзагера, согласно которой требуется прежде всего убедиться на опыте в применимости к изучаемым явлениям линейных уравнений переноса Онзагера [41, с.44] [ТРП, стр.155-157].
12. Возможность сочетания потоков J и I и сил X и Y.
Из сказанного должно быть ясно, что при написании уравнений переноса надо прежде всего руководствоваться физическим существом рассматриваемых явлений. В случае истинно простых явлений взаимодействие присутствует всегда, требуется только найти подходящую форму их выражения. Если к истинно простым явлениям добавляется какое-либо условно простое, тогда следует в опыте установить способность этого явления взаимодействовать с остальными. То же самое приходится делать, если речь идет о многих условно простых явлениях. Надо иметь в виду, что чем существеннее условно простое явление отличается от истинно простого, тем меньшим количеством общих признаков они располагают; к числу последних относится и способность ко взаимному, влиянию (см. гл. XIV).
В простейшем случае одномерных (однонаправленных) потоков при составлении уравнений можно в равной мере использовать как скалярные, так и векторные величины. Если речь идет о двухмерной или трехмерной задаче, тогда приходится обращаться к векторным потокам и силам; их суммирование, включая взаимное влияние, подчиняется правилам оперирования с векторными величинами.
На практике иногда возникает потребность сочетать в одном уравнении переноса потоки J и I и силы X и ? . Что касается потоков, то они различаются только площадью F , поэтому переход от одного потока к другому осуществляется с помощью равенства (см. выражение (133))
I = FJ , (149)
которое позволяет все строчки уравнения записать в единообразной форме.
Что касается сил X и Y , то такой вопрос возникает, когда система одновременно участвует в процессах проводимости и отдачи. Согласно теореме Кюри, силы X и ? сочетать нельзя и, следовательно, эффектов взаимного влияния между потоками проводимости и отдачи быть не может. На самом же деле эти потоки отлично между собой взаимодействуют. У этого взаимодействия имеются свои конкретные особенности, зависящие от свойств системы, например от наличия конвекции и турбулентности в ее объеме и т.д. Однако здесь мы не будем углубляться во все тонкости этого сложного вопроса, а обратим внимание лишь на то, что определенную картину взаимного влияния потоков можно все же получить, если воспользоваться приемом условной подмены отдельных конкретных явлений отдачи явлениями проводимости и наоборот. Благодаря этому в уравнение переноса по-прежнему подставляются либо только силы Y , либо только силы X . Подмена осуществляется на основе следующих соображений [17, с.54; 18, с.149; 21, с.74].
Предположим, что рассматривается система длиной ?х , проводимость которой равна L или М . На конце системы через площадь F под действием напора интенсиала ?Р = РС - Рп происходит отдача вещества с коэффициентом ? или ? . Необходимо данное конкретное явление отдачи на поверхности системы подменить явлением проводимости, то есть перейти от силы X к силе ? .
С указанной целью мысленно продолжим систему на расстояние ?хф примем, что напор интенсиала на поверхности системы ?? равен перепаду ?РФ = РС - Рп в воображаемом слое толщиной ?хф , именуемом фиктивным. Если толщину фиктивного слоя выбрать таким образом, чтобы поток вещества, теряемого с поверхности F вследствие явления отдачи, был равен потоку вещества, теряемого этой поверхностью через фиктивный слой посредством явления проводимости, тогда вместо явления отдачи вполне допустимо рассматривать явление проводимости. Равенство между собой потоков вещества обеспечивается соотношениями
J = ?X = LY = - ??P = - L(?РФ/?хФ) (150)
I = ?X = MY = - M?P = - L(?РФ/?хФ) (151)
где
? = F? ; M = FL (152)
Проводимость фиктивного слоя принимается равной проводимости системы. Из выражений (150) и (151) определяется искомая толщина фиктивного слоя. Находим
?хФ = L/? = M/? (153)
Равенства (150)-(153) используются для условной подмены явления отдачи явлением проводимости. В результате в уравнение переноса подставляются только силы ? .
Для обратного перехода, когда некоторое данное явление проводимости надо заменить явлением отдачи, используются аналогичные соотношения. При этом система длиной ?х мысленно заменяется контрольной поверхностью F , на которой под действием условного (фиктивного) напора ??ф , равного действительному перепаду в системе ?? , происходит отдача (или подвод) вещества с фиктивным коэффициентом ?ф или ?ф . Эти фиктивные коэффициенты находятся из равенств типа (150) и (151). Имеем
J = - ?ф??ф = - L(?Р/?х) (154)
I = - ?ф??ф = - М(?Р/?х) (155)
откуда
?ф = L/?х ; ?ф = M/?х (156)
Найденные коэффициенты позволяют для данной степени свободы системы силу ? заменить на силу X , в результате в уравнение переноса подставляются одни только силы X . Во всех случаях подмены явлений часть сил в уравнениях переноса имеет условный смысл, но при этом эффекты взаимного влияния потоков не утрачиваются. К такого рода подмене можно прибегнуть, например, если рассматривается твердая система, взаимодействующая с жидкой или газообразной средой, либо при последовательном соединении систем, когда текучая система располагается между двумя твердыми, и т.д. В последнем случае проводимость текучей системы определяется как величина, обратная полному сопротивлению, которое складывается из двух сопротивлений отдачи и эффективного сопротивления проводимости. Возможны и другие подходы [ТРП, стр.158-160].
13. Дифференциальное уравнение нестационарного переноса.
Необходимо подчеркнуть, что все выведенные уравнения переноса являются строгими только для стационарного режима. При нестационарном процессе, когда интенсиалы претерпевают изменения, внутри системы наряду с переносом происходит также накопление или убыль вещества. В этих условиях важную роль приобретают емкости, причем для определения свойств системы требуется вывести особые уравнения нестационарного переноса.
В общем случае система располагает n степенями свободы, а интенсиалы изменяются вдоль всех трех координат х , у и z одновременно; такое поле интенсиалов именуется трехмерным. Для вывода простейших уравнений нестационарного переноса используются второе и третье начала ОТ, а также третье частное уравнение пятого начала. В системе мысленно выделяется элементарный объем dV . Количество данного вещества, вошедшего в этот объем за время dt , сопоставляется с количеством вещества, вышедшего из этого объема за то же время. Разница между этими количествами идет на изменение интенсиалов рассматриваемого объема. В результате получается дифференциальное уравнение нестационарного переноса вещества [12, с.303; 14, с.348; 16, с.41; 17, с.104; 18, с.414; 21, с.195]. Здесь для простоты мы ограничимся случаем, когда система располагает всего двумя степенями свободы (n = 2), а ее интенсиалы изменяются только вдоль одной координаты х (одномерное поле интенсиалов). В этих условиях дифференциальное уравнение нестационарного переноса приобретает вид
U1 = L11Z1 + L12Z2 (157)
U2 = L21Z1 + L22Z2
где
U1 = ??P11(?P1/?t) ; U2 = ??P22(?P2/?t) ;
Z1 = ?2P1/?x2 ; Z2 = ?2P2/?x2 ;
?P11 = KP11/m ; ?P22 = KP22/m ;
? - плотность вещества системы, кг/м3; ? - удельная массовая емкость системы по отношению к данному веществу; m - масса системы, кг.
Для гипотетического частного случая, когда n = 1 и поле интенсиала одномерное, находим
U = LZ
или
?P/?t = D(?2P/?x2) (158)
где D - диффузивность:
D = L/(??) (159)
Из выражения (158) в частном случае получаются известные дифференциальные уравнения теплопроводности Фурье, второго закона Фика и т.д. Методы решения дифференциальных уравнений типа (157) разрабатывались Н.А. Буткевичюсом [6] [ТРП, стр.160-161].
14. Особенности применения нестационарного уравнения.