Как бы то ни было, двенадцать ключевых тем моего труда все вместе, словно повинуясь тайному велению рока, сложились в одну симфонию - или, если взять другой образ, каждая из них оказалась воплощением одной из точек зрения, в совокупности составивших единое широкое видение.
Видение это начало выступать из тумана, а очертания его - становиться узнаваемыми, не раньше, чем к 1957-1958 гг., годам напряженного вынашивания идей{31}. Кажется странным, но это видение было настолько мне близко, до того ясно и несомненно, что раньше, чем год назад{32}, я и не задумывался о том, чтобы дать ему имя. (А ведь как раз одно из моих пристрастий - называть вещи, мной обнаруженные: это первейший способ в них разобраться…) Правда, что я не смог бы конкретно указать момент, пережитый мною как внезапное рождение
321957 г. - тот самый, когда мне удалось настичь по горячему следу тему «Римана-Роха» (версия Гротендика), которая сразу же принесла мне «всеобщую известность». Это также год смерти моей матери, то есть резко выделенный в моей жизни - и один из наиболее интенсивно творческих, причем не на одной только математической ниве. Двенадцать лет уже шло тому, как все мои силы были вложены в математику. И я вдруг ясно почувствовал, что мои занятия сделали почти «полный оборот» по кругу, так что на часах, пожалуй, время их оставить и взяться за что-то другое. Очевидно, то была потребность духовного обновления, впервые тогда ко мне подступившая. Я собрался было стать писателем, и на многие месяцы прекратил всякую деятельность, связанную с математикой. Под конец я решил, что запишу черным по белому хотя бы те математические работы, какие у меня уже были начаты; без сомнения, дело нескольких месяцев, года самое большее…
Бесспорно, однако, что к безвозвратному скачку на иные круги я тогда еще готов не был. Всякий раз, как я ни пытался взяться снова за математический труд, выходило так, что это он меня захватывал, да накрепко. Еще на двенадцать лет, не выпуская!
Год, последовавший за этой паузой (1958), был, наверное, самым плодотворным для меня как математика. Это год появления двух центральных тем новой геометрии: бурного старта теории схем (предмет моего доклада на международном математическом конгрессе в Эдинбурге летом того же года) и возникновения понятия ситуса, то есть предварительной, технической версии важнейшего понятия топоса. Сейчас, в перспективе почти что тридцати лет, я могу утверждать, что то был воистину год рождения нового геометрического видения, последовавшего за вступлением в силу двух главных инструментов этой геометрии: схем (которые являют собой метаморфозу старого понятия «алгебраического многообразия») и топоса (представляющего результат преображения - еще более глубокого, чем в случае схем - понятия пространства).
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
видения, или, оглянувшись назад, в теперешней перспективе узнать и выбрать такую минуту. Новое видение - нечто заведомо слишком обширное, чтобы появиться сразу, в один миг. Ему нужны долгие годы, если не целые поколения, чтобы, проникнув в душу, постепенно завладеть тем или теми, кто неотрывно, внимательно созерцает - как если бы два новых глаза в муках рождались позади прежних, привычных, призванные понемногу их заменить. И, опять-таки, видение слишком объемно, чтобы говорить о возможности уловить его, «схватить», как хватаешь первое же понятие, возникшее из-за поворота на твоей дороге. А значит, в итоге нет ничего удивительного в том, что мысль как-нибудь назвать вещь настолько широкую, близкую и оттого расплывчатую не могла появиться раньше, чем при взгляде уже с некоторого расстояния - по истечении промежутка, нужного ей, чтобы достичь настоящей зрелости.
По правде сказать, раньше, чем два года назад, мои отношения с математикой (если не считать преподавательской работы) ограничивались тем, чтобы ее делать - повинуясь импульсу, неизменно гнавшему меня вперед, в «неизвестность», чей зов был неумолкающим. Не могло быть и речи о том, чтобы остановить этот разбег; задержавшись хотя бы на миг, оглянуться на очертания пройденного пути - даже просто понять, что, собственно, мой труд собой представляет. (То есть определить его место в моей жизни, как некоей вещи, все еще связанной со мной глубокими связями, о существовании которых я долгое время не подозревал. И еще - понять его роль в том общем, совместно предпринятом путешествии-приключении человеческой расы, каковым является математика.)
И другая странность: чтобы мне наконец «остановиться» и возобновить полузабытое знакомство с этим трудом, или хотя бы только задуматься об том, как назвать видение, заключившее в себе его душу, должно было случиться так, чтобы я вдруг столкнулся с реальностью Похорон гигантских масштабов (за могильщиков работали молчание и насмешки) как собственно видения, так и работника, в котором оно зародилось…
9. Непредвиденным образом, данное «предисловие» слово за слово превратилось в эдакое представление, по всем правилам, моего труда, предназначенное главным образом для читателя - не математика по профессии. Это обязывает, и потом, я уже слишком вовлечен в игру, чтобы можно было пойти на попятный; что же мне еще остается,
как не покончить с «церемониями»! Я хотел бы сказать худо-бедно хотя бы несколько слов о сущности этих волшебных «концепций» (или «ключевых тем»), которым я дал блеснуть на предыдущих страницах, и о природе этого славного «видения», в котором всем основным идеям предписано слиться. Ввиду невозможности прибегнуть здесь к языку сколько-нибудь техническому, образ, который мне удалось бы сейчас вызвать на бумагу, выйдет, без сомнения, чрезвычайно расплывчатым (если только под его личиной не прокрадется в текст что-нибудь старое, привычное.. .){33}.
Традиционно различают три рода «свойств», или «аспектов» тех или иных явлений во Вселенной, составляющих предмет математических рассуждений. Это суть число{34}, размер и форма. О них можно также говорить как об «арифметическом», «метрическом» (или «аналитическом») и «геометрическом» аспектах. В большинстве ситуаций, исследуемых в математике, эти три аспекта присутствуют одновременно, находясь в тесном взаимодействии. При этом, однако, чаще всего имеет место заметное преобладание одного из них над двумя другими. Мне кажется, что для большинства математиков достаточно ясно (тому, кто знаком с ними или просто в курсе их работ), кто они по натуре: «арифметики», «аналитики» или «геометры» - даже о том из них, у кого на скрипке много струн, так что ему доступны всевозможные регистры и диапазоны.
Мои первые, уединенные, размышления над теорией меры и интегрирования совершенно недвусмысленно относятся к разделу «размер», или «анализ». Так же обстоят дела с первой из новых тем, введенных мной в математику (которая представляется мне менее обширной по
353десь имеются в виду «натуральные числа» 0, 1, 2, 3 и т.д., или (в крайнем случае) числа (дробные), которые нужны как подручные для выполнения элементарных действий. Они не претендуют на то, чтобы, подобно «вещественным числам», измерять величины, способные к непрерывному изменению - такие, как расстояние между двумя точками, движущимися вдоль прямой, на плоскости или в пространстве.
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
масштабу, чем остальные одиннадцать). То, что я вступил в математику с «бокового подъезда» анализа, представляется мне обусловленным не столько склонностью моей натуры, сколько «случайным стечением обстоятельств». Именно, пробел в образовании, предложенном мне как в лицее, так и в университете (чересчур огромный для моего духа, одержимого страстью к обобщенности и строгости рассуждений) оказался связанным с «метрическим», или «аналитическим» аспектом сути вещей.