На первый взгляд два приведенных мнения подтверждают одно другое. Но не тут-то было! Ничего подобного, говорят третьи, наш повседневный опыт не оставляет сомнений: никому и ни при каких условиях не удается совершить бесконечное количество движений (рассматриваемые нами суммы состояли из бесконечного числа слагаемых). А пока количество движений остается конечным, хоть и сколь угодно большим, между Ахиллесом и черепахой останется некоторое, хоть и безгранично малое, расстояние. Так что до сих пор еще не разрешена до конца эта апория Зенона.
Попробуем разобраться сами. Построение Зенона основано на предположении о том, что расстояние можно бесконечно делить пополам. На научном языке это звучит как предположение об однородности и непрерывности пространства. Наш повседневный опыт, казалось бы, подтверждает это. Действительно расстояние в 1 метр всегда можно поделить на два отрезка по 0,5 метра. Человек с хорошим зрением может разделить пополам отрезок длиной примерно в 7ю миллиметра. Вооружившись электронным микроскопом, можно оперировать с расстояниями порядка одной миллионной доли сантиметра.
Ну а дальше? Если говорить о повседневном опыте, то он подсказывает нам следующее. Метр поделить можно, сантиметр — можно, миллиметр — можно, микрометр — можно. Значит, можно поделить любое другое сколь угодно малое расстояние. Так рассуждал Зенон около 2500 лет тому назад. Так рассуждает и большинство из нас. Здесь-то и затаилась опасность серьезной ошибки.
Природа не всегда следует подобным схемам. Не надо далеко ходить за примерами — взять ту же скорость: один метр в секунду можно удвоить, километр в секунду — можно, тысячу километров в секунду — можно, сто тысяч километров в секунду — можно, двести тысяч... Стоп! В природе не бывает скоростей, больших, чем примерно триста тысяч километров в секунду, т. е. больших скорости света.
Как в этом смысле обстоит дело с расстояниями, мы не знаем. Теоретически можно оперировать с отрезками длиной порядка Ю-23 сантиметра. Бывают ли более короткие расстояния? Неизвестно.
Вот и ответ на рассуждения Зенона. Они справедливы, впрочем, в той же степени, как и рассуждения современных математиков, лишь до тех пор, пока после очередного деления пополам расстояние не станет меньше 10~23 сантиметра. Дальше просто нельзя рассуждать о том, чего не знаешь. Современный ученый скажет, что задача Зенона некорректна.
Некорректна апория об Ахиллесе и черепахе и по другой причине. Согласно теории относительности, которая, кстати» тоже наделала много хлопот нашему повседневному опыту, расстояние зависит от скорости. Ахиллес видит перед собой одно, а судья, выносящий решение об исходе состязания с черепахой,— другое. В таких условиях вообще вопрос: догонит или не догонит? — ставить бессмысленно.
Делим пополам
Зачем в книге об энергии понадобился рассказ об Ахиллесе и тем более о черепахе — существе медлительном и косном?
Чтобы ответить на этот вопрос, вернемся к разделу «Кто выиграл?», где мы подсчитывали количество способов, которыми может быть реализовано какое-либо заданное состояние, илр, как мы назвали эту величину, статистический вес. Рассуждали мы так. Пусть в объеме имеется десять молекул, то бишь шариков, и каждая из них может иметь одну из десяти различных возможных величин энергии.
В том, что мы выбрали десять, а не какое-то другое число молекул, нет ничего неправомерного. Законы, которые мы сейчас изучаем, должны быть справедливыми для любого количества вещества, в том числе и для десяти молекул.
Но почему каждая из молекул может иметь одну только из десяти различных величин энергии? Если энергия всех молекул равна, скажем, 10 единицам, то ясно, что энергия любой молекулы в этом объеме не может превышать 10 единиц. Это непреложный факт, мы однажды договорились в основу любых рассуждений закладывать несомненность закона сохранения энергии.
Дальше давайте рассуждать так. Сколько различных величин энергии может иметь каждая молекула? Делим интервал в 10 единиц энергии пополам и считаем, что одна молекула может иметь энергию либо 10, либо 5 единиц. Согласны, что это слишком мало значений. Делим половинку еще раз пополам и получаем для возможных значений энергии молекулы величины 2,5; 5; 7,5 и 10. Опять мало? Снова делим пополам каждую четвертушку.