– Если мы хотим, чтобы это сработало, потребуется прояснить один момент, – осенило Карлу. – Если у нас есть пара комплексных чисел, и мы умножаем их на квадратный корень из минус единицы, то каждое из них преобразуется независимо от другого. Умножение никоим образом не перемешивает исходные числа – оно просто поворачивает комплексную плоскость на четверть оборота, превращая вещественные числа в мнимые, а мнимые – в вещественные. Следовательно, если мы собираемся отождествить две плоскости 4-пространства с комплексными плоскостями, нам потребуется некая эквивалентная операция.
– Но ведь я это только что нарисовал! – воскликнул Ромоло. – При умножении слева на вектор Верх содержимое плоскости Будущее-Верх поворачивается на четверть оборота, так же, как и содержимое плоскости Север-Восток. Векторы, изначально находящиеся в одной из этих плоскостей, остаются в ней и после поворота. Если проделать это дважды – возвести в квадрат – то в обеих плоскостях произойдет поворот на 1800, что эквивалентно умножению на минус единицу. Иными словами, мы можем считать, что эти плоскости играют роль пары комплексных чисел и использовать левое умножение на Верх в качестве квадратного корня из минус единицы!
Но Карле этого было недостаточно.
– Хорошо, само по себе это работает идеально. Но что произойдет, если физически повернуть и сам светород? Если я поворачиваю обычный вектор, а затем удваиваю его, результат должен быть точно таким же, как если бы я сначала удвоила вектор и только потом повернула, верно?
– Само собой. – Ромоло был озадачен, но затем понял, к чему она клонит. – То есть что бы мы ни использовали для умножения на корень из минус единицы, результат не должен зависеть от того, применяется ли умножение после поворота или до него?
– Именно.
На лице Патриции отразилось сомнение.
– Мне кажется, мы не сможем этого добиться, – сказала она. – Как быть с поворотом, который получается при умножении слева на Восток с последующим делением справа на Будущее? Будущее играет роль единицы, оно не влияет на результат, поэтому в итоге получается:
– Умножение на квадратный корень из минус единицы, согласно определению Ромоло, имеет вид:
– Комбинируя это с поворотом, имеем:
– Но если сначала выполнить поворот, а затем умножить результат на корень из минус единицы, то:
– Результат зависит от порядка, – заключила Патриция. – Поскольку при умножении двух векторов их порядок менять нельзя, эта штука будет постоянно здесь всплывать и все портить.
Она была права. На роль квадратного корня из минус единицы подходили и другие кандидаты, помимо предложенного Ромоло, но все они страдали от аналогичных проблем. Можно было умножать векторы слева или справа на Верх или Низ, Восток или Запад, Север или Юг; все эти случаи описывали поворот на 900 в двух различных плоскостях. Но в каждом конкретном случае можно было указать поворот, для которого эта схема терпела крах.
Ромоло отнесся к своему поражению с юмором.
– Два плюс два равно четырем, но природе есть дело только до некоммутативного умножения.
Патриция стерла с груди вычисления, но Карла заметила, как она вынашивает в голове какую-то мысль.
– Что, если светородная волна подчиняется другому правилу? – предположила она. – Это по-прежнему пара комплексных чисел, из которых опять-таки можно сконструировать некий четырехмерный объект – однако при повороте светорода этот объект преобразуется иначе, чем вектор.
– Какому же закону он в таком случае подчиняется? – спросила Карла.
– Предположим, что в качестве квадратного корня из минус единицы мы выбираем умножение справа на вектор Верх, – ответила Патриция. – Тогда умножение слева всегда будет коммутировать с этой операцией: результат не зависит от того, какая из них выполняется первой.
– Разумеется, – согласилась Карла. – Но в чем состоит твой закон вращения?
– Просто умножение слева, – сказала Патриция. – Всякий раз, когда обычный вектор поворачивается при умножении слева и делении справа, этот новый объект – назовем его «лефтором» – ограничивается только первой операцией. Делить его не нужно. – Она начеркала на груди два уравнения:
Карла смутилась.
– То есть ты используешь только половину описания поворота? Остальное просто выбрасывается?
– А почему бы и нет? – парировала Патриция. – Разве это не дает возможность свободно умножать справа – благодаря чему корень из минус единицы может коммутировать с поворотом?
– Да, но нужно удовлетворить и другим условиям! – Карла услышала нетерпение в своем голосе; усилием воли она заставила себя успокоиться. Хотя она мучилась от голода и опаздывала на встречу с Карло, ей все равно пришлось бы голодать до завтра, а прервав разговор сейчас, она бы впоследствии об этом пожалела.
– И что это за условия? – спросил Ромоло.
Карла ненадолго задумалась.
– Предположим, что мы последовательно выполняем два поворота, – сказала она. – Используя правило Патриции, можно определить, как именно этот новый объект будет меняться при каждом повороте. Но что, в таком случае, произойдет, если мы объединим два поворота в одну операцию – один поворот с тем же самым конечным результатом. Будет ли соответствие между правилами сохраняться на каждом шаге?
– Сколько бы ни было поворотов, в конечном счете все сводится к простому перемножению их левых векторов. Будь то вектор или лефтор, комбинируются они абсолютно одинаково.
Довод казался безупречным, но Карла все равно не могла с ним смириться; избавление от правого вектора должно было привести к каким-то последствиям.
– А. Что получится, если сделать два поворота на 1800 в одной и той же плоскости?
– Полный оборот, разумеется, – ответила Патриция. – Который ни на что не повлияет.
– Но твое правило утверждает обратное! – Карла выписала пошаговые уравнения, представив полуоборот в плоскости Север—Восток умножением слева на Верх с последующим делением на Верх справа.
Патриция снова и снова перечитывала выкладки, как будто надеясь обнаружить в них ошибку.
– Вы правы, – наконец, сказала она, – но это ни на что не влияет. Разве пару махов назад вы не говорили нам, что поворот светородной волны в комплексной плоскости не имеет физических последствий?
– Да. – Карла снова посмотрела на окончательный результат. После двух полуоборотов вектор оставался неизменным, в то время как лефтор умножался на минус единицу. Однако вероятности, которые можно было извлечь из светородной волны, выражались через квадрат абсолютного значения некоторой волновой компоненты. Умножение всей волны на минус единицу на эти вероятности бы никоим образом не повлияло.
– Значит, при повороте этой системы на 3600 волна меняет знак? Но это не имеет значения…, потому что не поддается измерению?
– Это странно, – согласилась Карла. – Но еще больше меня беспокоит то, что с левым вектором поворота мы обращаемся иначе, чем с правым. Чтобы поменять их местами, достаточно посмотреть на систему в зеркало. Разве физика должна меняться в зеркальном отражении? Мы когда-нибудь встречались с этим на практике?
Патриция восприняла критику всерьез.
– Что, если мы попробуем их сбалансировать? Нельзя ли для симметрии ввести в дополнение к лефтору некий «райтор»? – Она выписала правила преобразования нового геометрического объекта, представлявшего собой зеркальное отражение ее предыдущего изобретения.
– Ввести его куда? – спросил Ромоло.
– В светородную волну, – ответила Патриция. – Добавить еще пару комплексных чисел, которые будут преобразовываться по правилу райтора. Если отразить такую систему в зеркале, то лефтор и райтор поменяются местами.