Коникос взял кривую и приладил ее, кряхтя и ворча,
— 275 —
к диаграмме с картезианскими осями, повернув ее на девяносто градусов.
— Трактриса, — сказал он, передохнув после своей нелегкой работы, — это кривая весьма древнего происхождения. Одно из замечательных свойств ее заключается в том, что если к ней провести касательную в любой точке, то расстояние по касательной от точки касания до некоторой прямой будет постоянным (удаляясь от своей вершины, трактриса неограниченно приближается к этой прямой, и на нашем чертеже эта прямая будет перпендикулярна к оси цепной линии). Если поместить конец нити на расстоянии а от горизонтальной прямой, а потом другой ее конец тянуть вдоль этой прямой, то первый конец и опишет трактрису. Отсюда и название ее (от латинского слова «тянуть»). Если же теперь мы прикрепим трактрису по ее горизонтальной оси к Центрифуге, то мы и получим искомую поверхность вращения, то есть именно псевдосферу.
Псевдосфера
И действительно, как только прикрепили трактрису к Центрифуге и пустили последнюю в ход, получилась псевдосфера, каковую Асимптотос спокойно снял со станка и разрезал пополам, затем добыл откуда-то резиновую нитку и влез внутрь того вогнутого конуса, похожего на опрокинутый бокал, который представляла собой полупсевдосфера. Поверхность была довольно прозрачная, и Асимптотоса было отлично видно. Намазав резиновую нитку сажей, он натянул ее на поверхность полупсевдосферы и, щелкнув ниткой, получил одно ребро треугольника снизу вверх, направо от основания к вершине —
— 276 —
ровную темную черту. Затем он так же обозначил другое ребро треугольника сверху, от вершины вниз направо, подмигнул Илюше и сказал:
— Так как я имею дело с поверхностью отрицательной кривизны, то, для того чтобы провести основание треугольника, я должен, очевидно, выбраться из-под псевдосферы снова наружу.
Илюша внимательно поглядел на псевдосферу и сообразил, что если натянуть резиновую нитку горизонтально, стоя внутри седлообразной псевдосферы, то нить окажется в воздухе, а не будет вся целиком лежать на поверхности, как полагается лежать геодезической линии.
Асимптотос выбрался наружу и, лихо щелкнув начерненной ниткой, провел основание треугольника.
— Ну, Илюша, — сказал Коникос, — если ты внимательно посмотришь на этот треугольник, ты и сам заметишь, что углы его много меньше, чем им полагалось быть, если бы это был плоскостной треугольник.
Коникос вырезал псевдосферический седлообразный треугольник и положил на стол, а потом прикрепил три крепко натянутые нитки к его вершинам. Рассматривая углы, которые были образованы нитками, и собственные не-евклидовы углы треугольника, Илюша мог убедиться, что последние меньше, нежели плоскостные.
— Ясно? — спросил Радикс.
— Как будто ясно, — отвечал мальчик. — Ну, а как получается с параллельными? Я все-таки никак не пойму, как через одну точку провести две параллельные к третьей прямой?
— С параллельными, — отвечал Радикс, — не так-то просто. Давай сравним, как ведут себя два перпендикуляра к одной и той же секущей на выпуклой, плоской и седлообразной поверхности. На плоскости они идут на одном расстоянии друг
— 277 —
На выпуклой поверхности два перпендикуляра сходятся.
На плоскости два перпендикуляра не сходятся и не расходятся.
от друга, то есть не сходятся и не расходятся. Но на выпуклой поверхности, как, например, на Земле, они будут вести себя так, как два меридиана, перпендикулярных к экватору, то есть будут приближаться друг к другу по обе стороны секущей и пересекутся на полюсах. На седлообразной поверхности наоборот: два перпендикуляра к одной и той же секущей будут расходиться по обе стороны, удаляясь друг от друга. Поэтому можно уменьшить углы их наклона к секущей, и полученные наклонные все еще не будут пересекаться. Если продолжать уменьшать угол наклона, то в конце концов мы дойдем до такого крайнего положения, при котором дальнейшее уменьшение угла наклона вызовет появление точки пересечения. В этом крайнем положении две прямые и называются, по Лобачевскому, параллельными друг другу «в ту сторону», в какую они образуют острые углы с секущей. Наши прямые «в сторону параллельности» еще не пересекаются и уже не расходятся, а сходятся друг с другом, так сказать, «в бесконечности», как обычные параллельные. На полупсевдосфере можно это очень хорошо представить себе, если взять два уходящих в бесконечность меридиана этой поверхности. Ты, может быть, возразишь, что это два перпендикуляра к параллели полусферы, но не забудь, что параллель (то есть сечение псевдосферы плоскостью, перпендикулярной к оси) не будет линией кратчайшего расстояния (геодезической) на этой поверхности и потому не может нами рассматриваться как «прямая».