— 287 —
[180°— (α + β+γ)], где α, β и γ суть углы треугольника. А наше выражение в квадратных скобках, очевидно, не может быть больше ста восьмидесяти градусов. Однако и этого еще мало, и этим не исчерпываются необычайные чудеса этой геометрии. В ней мы имеем возможность определить отрезок через угол. Ибо коль скоро треугольник вполне определяется своими тремя углами, то я могу точно определить отрезок, указав, что он является стороной равностороннего треугольника с заданным углом (меньшим, разумеется, нежели две трети прямого угла). Отсюда можно сделать один удивительный вывод. Тогда как в обычном мире необходим эталон (то есть образчик) меры длины — метр, ярд, сажень, — в мире «воображаемой» геометрии в таковом эталоне нет надобности. Там с помощью геометрического построения, как бы исходя из свойств самого пространства, мы строим единицу длины наподобие того, как в евклидовой геометрии строится прямой угол (то, что мы потом его делим на девяносто градусов, к его величине касательства не имеет.)
— Сумма углов равностороннего треугольника Лобачевского, — промолвил Асимптотос, — поистине меньше двух прямых, ибо каждый из них меньше чем шестьдесят градусов. Мы можем тебе показать это.
Снова перед Илюшей выросла полусфера высотой в один метр. Линии, которые провели по стеклу круглые пули Коникоса, были прекрасно видны. Асимптотос подошел к полусфере и лёгонько толкнул ее пальцем. Полусфера закачалась, перевернулась своим срезом (основанием) вверх.
Асимптотос взял ниточку и, нагнувшись над опрокинутой полюсом вниз полусферой, закрепил один конец нитки в одной из трех точек внутри полусферы, где пересекались два следа пуль. Илюша внимательно следил за всеми этими приготовлениями. Затем Асимптотос, туго натянув нитку, повел ее к другой точке пересечения следов не-евклидовой пальбы и закрепил во второй точке, а затем и в третьей точке. Наконец он потянул ниточку из третьей точки снова в первую и закрепил ее там, где она вся и кончилась. Таким образом, внутри полусферы в воздухе повис туго натянутый ниточный равносторонний треугольник. Он висел, разумеется, так, что плоскость его была параллельна полу.
— Теперь это будет тот самый треугольник, который Коникос чертил на полу и о котором ты еще высказал такое авторитетное мнение… насчет суммы его углов, помнишь?
Илюша очень хорошо помнил свое «авторитетное мнение», только ему совсем не хотелось, чтобы и другие об этом вспоминали…
Асимптотос похлопал рукой по краю полусферы, и она тут
— 288 —
же превратилась в целую сферу, то есть на лежащей ее половине тотчас же выросла и вторая (верхняя) половина шара. Теперь у этой сферы было два полюса — южный (старый) и северный (новый, верхний). Коникос принес откуда-то маленькую ярко светящуюся точку и положил ее на северный полюс сферы. В светлице стало темно, и лучи ярко светящейся точки северного полюса бросали резкие тени. На полу под сферой эти лучи сейчас же отчетливо нарисовали тень экватора, которая, конечно, оказалась правильным кругом. А внутри этого круга, разумеется, нарисовалась, отступя на некоторое расстояние от окружности, и тень ниточного треугольника.