— Это интересно, — сказал Илюша. — Но разве это так важно — уметь провести касательную к любой кривой?
В точке, соответствующей х, кривая достигает максимума и касательная становится параллельной оси абсцисс.
Чем скорее растет ордината кривой, тем больше угол α и его тангенс.
— Сперва казалось, что это просто одна из трудных геометрических задач. Однако Декарт во второй книге своей «Геометрии» писал:
«Я готов даже сказать, что эта задача является самой полезной и обладает наибольшей общностью не только из тех задач, которые мне известны, но даже изо всех тех, которые мне хотелось когда бы то ни было узнать». Кеплер в своем сочинении о стереометрии винных бочек отметил некоторые особые свойства кривых, которые тесно связаны с касательными их. Мы вот сейчас говорили о том, что у кубической параболы есть максимум и минимум. Если ты внимательно посмотришь на график этой кривой, то заметишь, что ордината этой параболы сперва растет очень скоро, а потом все медленнее и медленнее. В точке максимума ее рост прекращается, а потом начинает падать.
— Так, — сказал Илюша. — А с минимумом наоборот: падает, падает, потом останавливается в точке минимума, а потом снова начинает расти.
— Молодец! — похвалил Радикс. — Кое-как соображаешь.
— 334 —
— Кое-как могу, когда не очень трудно, — отвечал мальчик, — да и то потому, что ты помогаешь.
— Отчего же и не помочь человеку, если он старается разобраться в том, что ему объясняют! Ну, а теперь пораскинь-ка мозгами и ответь мне на такой вопрос: что будет делать касательная к этой кривой, если я буду строить ее для различных точек кубической параболы и на чертеже брать эти точки одну за другой слева направо до максимума и после него?
Как будет наклонена касательная по отношению к положительному направлению оси абсцисс?
— По-моему, — сказал Илюша, — она до максимума будет наклонена в одну сторону, а после максимума — в другую.
— Это верно, — сказал Радикс, — а поточнее? Какой угол будет образовывать касательная с положительным направлением оси абсцисс, если мы продолжим касательную до пересечения с этой осью- до максимума и после него?
— До максимума, — ответил Илюша, — кривая поднимается, значит, верхняя часть касательной будет образовывать с положительным направлением оси абсцисс острый угол, а после максимума кривая опускается, зна—
График параболы четвертого порядка.
У этой кривой два максимума и один минимум (или наоборот); она пересекает ось абсцисс дважды…
… или четырежды.
— 335 —
чит, верхняя часть касательной образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол.
— Круглая пятерочка! — воскликнул Радикс. — Отвечай, юноша, что же будет с касательной в точке максимума?
— Не знаю!.. Ах да! Очень просто. Она будет параллельна оси абсцисс. Она ведь скользит по кривой и поворачивается, а в точке максимума станет совершенно горизонтально.
А потом уже повернется в другую сторону.
— А почему она поворачивается?
— Потому что ордината кривой, приближаясь к максимуму, растет все медленнее, а потом, после максимума, сейчас же начинает уменьшаться.
— Молодчага! — сказал Радикс. — Вот тебе и ясно, какая польза от касательной. Она показывает, как изменяется скорость роста ординат кривой, указывает, где находится максимум или минимум. При ее помощи можно решать задачи на нахождение максимумов, имеющих очень большое значение в технике. Как сделать из данного куска железа цилиндр наибольшей вместимости? Как сделать брус, который обладал бы наибольшей прочностью? Все эти задачи решаются при помощи метода касательных. А чтобы все было проще и ясней, мы просто будем рассматривать угол, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс, и характеризовать его при помощи его тангенса. Мы всегда можем построить прямоугольный треугольник, где отрезки, параллельные осям координат, будут катетами и гипотенуза будет направлена по касательной. Этот треугольник впервые был построен Архимедом при изучении спиралей, а затем после Паскаля и Барроу (ко времени Ньютона) он стал важным орудием анализа и сыграл немалую роль в развитии математики. Отношение катетов этого треугольника и будет искомым тангенсом угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.
— Вот уж не подумаешь сразу, что касательная такая полезная линия! — сказал Илюша. — А греки знали об этом?