— Вот как! — сказал Илюша. — Как же это получилось?
— Дело вот в чем, — отвечал Радикс. — Давай-ка нарисуем кривую и проведем секущую. Она пересечет кривую на чертеже два раза — в точках А и Б. Дальше мы будем рассуждать так. Наша кривая связывает две величины — х и у. Их мы будем называть переменными: икс — независимой переменной, а игрек — зависимой. Ведь действительно, вспомни, как мы подставляли в уравнения различные произвольные значения икса и следили за изменением игрека. Значит, в самом деле игрек изменяется в зависимости от икса. Или, как принято говорить, игрек есть функция икса.
Если заставить точку В двигаться по кривой АВ к точке А, то секущая ABF, поворачиваясь около точки А, будет приближаться к некоторому предельному положению, когда бесконечно малое расстояние между точками А и С обратится в нуль; в этот миг секущая превратится в касательную.
Теперь заметим, что в точке А икс равен, допустим, некоторой величине ха, а игрек соответственно равен уa. Теперь увеличим немного икс, то есть дадим ему некоторое приращение. Тогда икс, соответственный точке В, будет равен хb, а игрек соответственно уb. Приращение икса будет равно xb — xa; приращение игрека yb — yа — Проведем теперь секущую через точки
— 340 —
А и В. Если теперь поворачивать секущую около точки А по часовой стрелке, то в пределе она станет касательной. Построим треугольник ABC и рассмотрим, что с ним будет делаться, если поворачивать секущую около точки В. Очевидно, стороны треугольника убывают.
tg α называется производной «ординаты кривой по абсциссе» в точке с абсциссой xa
Уменьшается сторона АС, а вместе с ней и сторона ВС, то есть уменьшается приращение той и другой переменных и уменьшается непрерывно. В рассматриваемых здесь случаях отношение АС и ВС стремится к некоторому пределу, а секущая занимает свое предельное положение относительно кривой, то есть становится касательной. Когда АС бесконечно уменьшается, то и ВС уменьшается таким же образом. Обе эти переменные бесконечно уменьшающиеся приращения величин суть бесконечно малые, и нам тут необходимо найти предел, к которому стремится их отношение. Очевидно, что оно будет равно тангенсу угла, который образует касательная с положительным направлением оси абсцисс. Этим вопросом занимается дифференциальное исчисление; и тангенс наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс называется производной данной функции. Зная производную той или иной функции, узнают, с какой скоростью изменяются ординаты кривой при изменении абсцисс, и можно изучить эту скорость. А этим способом исследуют очень- многие законы физики, механики и других естественных наук. На этом фундаменте и выросла наша современная техника.
— Это замечательно! — воскликнул Илюша. — Только я не пойму: к какой кривой приводит тот или иной закон физики?
— Видишь ли, когда этим занялся Исаак Ньютон, которого современники называли «счастливейшим из смертных» за его открытие закона всемирного тяготения, то он, изучая скорость, с которой изменяются ординаты данной кривой, поставил два чрезвычайно важных и вполне естественных вопроса. Он рассуждал так: если точка двигается с данной скоростью, это значит, что она в определенное время проходит некоторый путь. Будем называть икс временем, как это делал сам Ньютон. Тогда ординаты кривой дают нам пройденный путь. Вот, например, если поезд идет с постоянной скоростью сорок
— 341 —
километров в час, то за десять часов он пройдет 10 · 40 = 400 километров. Алгебраически это будет: скорость равна а, время равно х, пройденный путь у равен ах. Таким образом, уравнение пути будет у = ах. Это есть не что иное, как уравнение прямой линии. Если же скорость сама все время меняется пропорционально времени, то пройденный путь будет на чертеже изображаться не ординатой прямой, а ординатой параболы. Если же мы умеем построить к нашей кривой пройденного пути касательную, то тем самым можем определить скорость в каждой данной точке кривой или в любой момент времени. Таким образом, зная пройденный путь, мы находим скорость. Но можно поставить и обратную задачу; зная скорость, найти пройденный путь. Можно показать, что эта задача сводится к квадратуре кривой, то есть к определению ее площади, а это, как уже мы с тобой говорили, есть задача интегрирования. Так вот, таким путем Ньютон и выяснил, что нахождение касательной и определение площади суть действия, обратные друг другу, как обратны, например, возведение в степень и извлечение корня.
| Секунды по порядку | Скорость | Пройденный путь |
|---|---|---|
| 0 | - | 1 |
| 1 | 3 | 4 |
| 2 | 5 | 9 |
| 3 | 7 | 16 |
| 4 | 9 | 25 |
| 5 | 11 | 36 |
| 6 | 13 | 49 |
| 7 | 15 | 64 |
| 8 | 17 | 81 |
| 9 | 19 | 100 |
| 10 | 21 | 121 |
| 11 | 23 | 144 |