Все остальные слагаемые составляются по тому же принципу (затем, очевидно, пойдет гномон с клеткой пересечения «d5», затем «е4» итак далее). Теперь приступим к самому счету. Начну с того, что напишу в каждой клетке по единице. Если их считать «по прямым», то в каждой полосе будет n. А полос во всей доске тоже n. Ясно, что на всей доске получится n2. Но теперь попробуем считать «по гномонам». Получим:
1; 2 + 1; 3 + 2; …; n + (n-1).
Сумма всех этих чисел будет, очевидно,
1 + 3 + 5 + … + 2n — 1.
Приравнивая сумму «по прямым» сумме «по гномонам», получаю:
1 + 3 + 5 + … + 2n — 1 = n2,
то есть сумма и нечетных чисел равна n2. Как будто недавно мы с тобой уже встречались с этим вавилонским равенством?
— Встречались, — отвечал Илюша.
— Прелестно! — обрадовался Радикс. -Хорошо, что ты не забыл об этом. А теперь далее. Я напишу в каждой горизонтальной полосе числа от единицы до n, то есть
1, 2, 3, 4, 5, … , n,
и ясно, что сумма их будет равна в каждой полосе
(n + 1)n / 2,
— 349 —
по правилу суммы арифметической прогрессии. Раз это так, то ясно, что сумма всех полос доски будет равна
(n + 1)n2 / 2
Теперь рассмотрим, каковы будут суммы «по гномонам». Ясно, что сумма чисел энного гномона будет
n2+ (1 + 2 + 3 + … + n-1).
Эту сумму можно записать еще иначе, то есть:
n2+ n(n + 1) / 2
и окончательно:
⅔n2 — (1/2)n
Теперь я буду давать в этой формуле числу и значения 1, 2, 3… и до n включительно. Суммы тогда будут равны по окончательному написанию:
3/2 · 12 — 1/2 · 1
3/2 · 22 — 1/2 · 2
3/2 · 32 — 1/2 · 3
………
………
3/2 · n2 — 1/2 · n
Сложив все это столбиком, получаю для всех полос:
3/2 · S2 — 1/2 · S
где S2 есть сумма квадратов первых и натуральных чисел, а S — сумма их первых степеней. Приравнивая, как и ранее, сумму «по прямым» сумме «по гномонам», получаю:
3/2 · S2 — 1/2 · S = n2(n + 1) / 2
— 350 —
а отсюда определяю, чему равняется S2 и после ряда несложных переделок, которые, конечно, ты и сам не откажешься выполнить, получаю сумму квадратов первых и натуральных чисел, которая будет:
S2 = (2n + 1)(n + 1)n / 6.
Советую тебе еще написать в клетках шашечницы пифагорову таблицу умножения и по ней найти, чему равна сумма кубов первых n чисел. Если же ты напишешь в клетках квадраты чисел пифагоровой таблицы, то сможешь найти и сумму пятых степеней. Однако нам пока это все, кроме суммы квадратов, не понадобится. Приступим теперь к вопросу об интегрировании. Допустим, что нам дана парабола, уравнение которой будет:
y = х2,
и нам нужно эту функцию проинтегрировать, или найти площадь, ограниченную параболой от начала координат до точки с абсциссой b, то есть площадь, ограниченную отрезком самой параболы, отрезком оси абсцисс и ординатой в точке х = b.
Для этого мы сначала делим интервал (то есть отрезок абсциссы) от нуля до b на n равных частей. Длина каждой такой части будет