— Что-то я плохо понимаю, как это «постоянная»? Всегда одна и та же?
— Именно так: она всегда одна и та же и равна постоянной величине, входящей в полярное уравнение кривой. Зная уравнение кривой, мы уже знаем, чему равна длина поднормали. Слушай дальше и ты поймешь, в чем тут дело. Это особое свойство данной связи между радиусом-вектором r и полярным углом φ: если мы будем искать методами высшего анализа кривую, у которой поднормаль в полярных координатах постоянна, мы неминуемо придем к Архимедовой спирали. Это ее важное свойство подобно свойствам, определяющим «геометрическое место».
— И так будет в любой точке спирали?
— Разумеется! В этом-то и вся сила, что в любой. Это основной закон Архимедовой спирали. Напишем уравнение спирали в полярных координатах так, как мы писали в Схолии Двенадцатой уравнение кривых в декартовых координатах. Мы уже знаем, что длина радиуса-вектора в данном случае прямо пропорциональна углу, на который повернулся этот
— 358 —
вектор. Разумеется, когда вектор пройдет целый круг, то следующий круг мы начнем считать от 360°, это будет 361° (или в радианах 2π, а затем 2π + π/180 и так далее). Назовем радиус-вектор буквой r, а угол буквой φ и напишем уравнение:
r = αφ.
Это и будет самое простое уравнение спирали в полярных координатах. Чем больше угол, тем длиннее и радиус-вектор.
Пропорциональность может быть различной, поэтому в уравнении имеется коэффициент (или параметр) α.
— А что такое параметр?
— Параметр представляет собой определяющий коэффициент, характеризующий кривую. Так, например, угловой коэффициент прямой есть ее важнейший параметр.
В данном случае для нашей спирали α и есть постоянная поднормаль (или субнормаль) Архимедовой спирали. Чем он больше, тем шире и разворот спирали. Чем он меньше, тем ближе один к другому ложатся витки спирали. Он либо раздвигает, либо сдвигает спираль. Например, когда ты заводишь часы с пружиной, то она сжимается. Полагая, что пружина в плане близка к Архимедовой спирали, ты, заводя часы, уменьшаешь ее параметр а.
— Как будто что-то я начинаю соображать, — сказал Илюша. — Это немного похоже на то, если изменять угол конуса при вершине. Конус, конечно, станет другой.
— В этом роде. А теперь мы уже подходим к концу нашего рассказа. После того как Архимед установил это замечательное свойство спирали, он нашел еще и выражение ее полярной подкасательной (субтангенса). Если уравнение спирали таково, как мы написали, то в современных обозначениях полярная подкасательная спирали будет равна rφ. Теперь если у нас некоторый угол φ1 будет равен 2π…
— То есть если радиус-вектор обойдет целый круг?
— Именно! Тогда соответствующий этому углу радиус-вектор по нашему уравнению будет равен: r1 = 2πα, а его подкасательная по ее уравнению, которое мы только что записали, будет:
4π2а = 2πr1 ,
то есть равна длине окружности, радиусом которой является радиус-вектор в конце первого витка спирали. Вот и получается при помощи геометрического построения совершенно точное определение длины окружности. Об этом и говорил византиец Евтокий Аскалонский. Средневековые математики не разобра-
— 359 —
лись в том удивительном построении, которое мы сейчас вкратце рассмотрели. То, что писал тонкий комментатор Архимеда — Евтокий об этом решении, вовсе их сбило с толку: начали даже поговаривать, что «по-видимому» сама геометрия — наука «неточная»! Их путало еще и то, что им уже было известно о существовании целого ряда приближений для определения числа π: в библии дается число 3,0; у Витрувия, римского архитектора, — 3,125 (вавилонское приближение); у самого Архимеда — 3,14… Которое из решений правильно? А спирали Архимеда вовсе не давали численного решения, что еще больше их смущало.