— Только тем, что у них основание не два, а десять.
— Так это очень просто! — вскричал Илюша.
— Несложно, если не считать того, что во втором столбце стоят не только точные степени десяти, но и все промежуточные числа, — отвечал Радикс. — А записываем мы это так:
log232 = 5,
то есть: «Логарифм тридцати двух при основании два равен пяти». А при основании десять тот же самый логарифм будет равен:
1,50514997831990597607,
с точностью до девятнадцатой цифры после запятой.
— А можно перейти от одного основания к другому? — спросил Илюша.
— Это нетрудно, — отвечал Радикс. — Если ты разделишь двоичный логарифм на десятичный логарифм, то получишь так называемый модуль перехода, с помощью умножения на который из любого десятичного логарифма получишь двоичный. В данном случае этот модуль будет примерно равен 3,3219. Вывести общее правило для получения модуля перехода тоже дело нехитрое. Раз ты умеешь из старого основания а получать любое число, то задача, очевидно, сводится к тому, чтобы из нового основания b получить старое основание а.
Но для этого новое основание b надо возвысить в степень с показателем…
— Логарифм a при основании b, — отвечал Илюша.
— Правильно. Значит, если возвести новое основание в степень logba, то будет а. Ну, а если нужно получить какое-нибудь число N, в какую степень ты должен возвысить полученное число а?
— В степень, показатель которой есть логарифм этого числа N при основании а, то есть logaN.
— Так. Значит, чтобы из b получить N, нужно сначала возвысить b в степень logba, а потом результат возвысить в степень loga N. Но при возвышении степени в степень показатели перемножаются, следовательно, можно сказать, что для получения числа N надо возвысить основание b в степень с показателем
logba · logaN.
— 364 —
Это и есть, стало быть, логарифм числа N при основании b, и ты можешь написать
logbN = logba · logaN
Значит, logba и есть модуль для перевода логарифмов при основании а в логарифмы при основании b. Он есть не что иное, как логарифм «старого» основания а по «новому» основанию b. Ну, а теперь попробуй сообразить, какая бы вышла таблица, если бы вместо основания «два» мы взяли основание «восемь» (см. таблицу).
— Основание увеличивается… значит, против единицы в первом столбце будет стоять теперь уж не два, а восемь… Ну, так, значит, логарифмы уменьшатся. Вот какая будет тогда табличка. И действительно, так и выходит: здесь множитель ⅓ есть логарифм «старого» основания «два» по «новому», то есть по основанию «восемь». А если бы от этой новой таблички надо было перейти к логарифмам с основанием «два», то пришлось бы множить на три, а три и есть логарифм восьми по основанию «два».
— Правильно, юноша! Ну вот, как видишь, штука не такая хитрая. А польза от логарифмов очень большая. Представь себе, что надо извлечь из семи корень шестьдесят седьмой степени. Как ты это сделаешь? А с логарифмами это несложное дело. Взял таблицы, нашел логарифм семи, разделил его на шестьдесят семь, потом нашел опять в таблицах число, соответствующее частному от деления, — вот и готово!
— Интересно! — сказал Илюша, — А сколько будет корень шестьдесят седьмой степени из семи?
| А | Г |
|---|---|
| ⅓ | 2 |
| ⅔ | 4 |
| 1 | 8 |
| 1⅓ | 16 |
| 1⅔ | 32 |
| 2 | 64 |