— Немножко больше единицы.
— Ну да, — отвечал Илюша, — конечно, меньше единицы быть не может, потому что дробь от возведения в степень будет только уменьшаться.
Ясно! Ну, а при чем здесь гипербола?
— История довольно интересная, но немножко длинная. Если, впрочем, тебе охота послушать, можно рассказать. Начнем с того, что возьмем гиперболу, уравнение которой будет:
Я думаю, что ты уж встречался с ней, и не однажды. Если ее начертить, то получится хорошо известный тебе график обратной пропорциональности. Ясно, что если рас-
— 365 —
сматривать гиперболу как коническое сечение, то мы получим только одну ее ветвь. Подставляя в уравнение данные, начиная с единицы, мы получим табличку. А теперь возьмем часть площади под гиперболой, которая у нас заштрихована на чертеже, — часть гиперболы, ограниченную двумя ординатами, соответствующими абсциссам «один» и «два», и осью абсцисс. Вот с этим-то небольшим кусочком гиперболы мы начнем колдовать. Как ты полагаешь, удастся ли нам сдвинуть этот гиперболический трапецоид направо, вдоль по абсциссе так, чтобы ордината, соответствующая точке абсциссы «один», попала как раз на то место, где сейчас находится ордината, соответствующая точке абсциссы «три»?
| x | y |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | ½ |
| 3 | ⅓ |
| 4 | ¼ |
| 5 | 1/5 |
| 6 | 1/6 |
— Хм… пока не знаю… — протянул Илюша. — Ну, посмотрим!
— Посмотрим! — посмеиваясь, согласился Радикс. — Мы ведь можем изобрести специальный прибор для рассмотрения этой проблемы. Вот он, смотри!
Перед Илюшей немедленно появился большой, немного наклонный стол, вроде витрин в музейных залах. На нем под зеркальным стеклом шли оси координат. Однако на этот раз Радикс почему-то повернул эту систему на девяносто градусов против часовой стрелки, так что теперь ось игреков пошла горизонтально налево, а ось иксов стала вверх вертикально. Между осями проходила ветвь гиперболы, близко подходя наверху к оси иксов.
Когда мальчик пригляделся, он заметил, что это не одно стекло, а два, между которыми имеется зазор шириной в два миллиметра, для которого гипербола и ось абсцисс образуют сплошные продольные стенки. Промежуток между этими двумя стенками был сверху и снизу открыт. Радикс взял тоненькую резиновую перегородочку и вставил ее снизу в зазор против точки на оси абсцисс, отвечающей значению х = 1, и перегородочка стала вплотную в промежуток между осью абсцисс и гиперболой. Затем Радикс взял банку с ртутью и осторожно сверху налил ртути в зазор между гиперболой и осью абсцисс, так что ртуть заполнила промежуток между ними над перегородкой до уровня, отмеченного х = 2 на оси иксов.
— Вот кусочек гиперболической площади, — сказал он. — Так?
— 366 —
Затем Радикс осторожно передвинул резиновую перегородочку от абсциссы «1» до абсциссы «3».
Илюша внимательно посмотрел и увидел, что теперь поверхность ртути оказалась сверху против точки с абсциссой х = 6.
— Понятно? — спросил Радикс.
— Из одного трапецоида вышло три, — задумчиво констатировал мальчик. — Было от одного до двух, а теперь стало от трех до шести. А как это получилось, не знаю,…
Радикс махнул ручонкой, и вся ртуть немедленно исчезла.
Поглядев машинально на банку, Илюша заметил, что количество ртути в банке снова увеличилось, а сбоку прыгает одна капелька, никак не может попасть обратно в банку.
Вот как Радикс сначала поставил этот чертеж
А потом повернули обратно
— Возьмем, — сказал Радикс, — очень тонкую полоску, толщиной в долю микрона. Если взять еще тоньше, так, пожалуй, и не увидишь. Так ведь и делали математики в старое время, когда свойства бесконечно малых не были еще достаточно хорошо исследованы и обсуждены. В этом роде действовали, например, Архимед, Кеплер и Кавальери. Это было начало возникновения анализа бесконечно малых, и при разрешении некоторых, сравнительно простых вопросов в руках крупных ученых этот несовершенный способ давал серьезные, а для тех времен даже и решающие результаты. Во всяком случае, без