— 367 —
этих первых, робких и грубых попыток интегрировать и дифференцировать с помощью таких, как выражался Кавальерн, «неделимых» полосок вряд ли наука сумела бы создать то, чем стала математика в наше время. Итак, мы берем такую тончайшую полоску как раз против абсциссы с пометкой «один». Впрочем, сказать по совести, мне надоело возиться с перегородкой, и я привык, чтобы ось иксов шла горизонтально. Поэтому я попрошу ртуть теперь уж без подпорок занимать полагающееся ей пространство между двумя вертикальными ординатами гиперболы.
Оси послушно повернулись, а Радикс сердито глянул на банку со ртутью. Бедная капелька, которая никак не могла попасть обратно в банку, опрометью кинулась обратно к стеклянной гиперболе и немедленно растянулась против абсциссы «1» тоненькой-претоненькой блистающей серебряной ниточкой.
— Хороша «неделимая» полоска? — спросил Радикс.
— Да, — отвечал Илюша, — уж поистине «неделимая».
— Допустим! — усмехнулся Радикс. — Пусть на этот раз будет по-твоему. Это, конечно, не совсем по Кавальери… Ну, все равно, не будем уж на этот раз придираться!.. Но представь себе, что я хочу ее переместить к абсциссе с пометкой «три». Поскольку эта полоска имеет некоторую конечную толщину, хоть и очень небольшую, она, чтобы уместиться под гиперболой, должна стать короче, а самое главное — толще.
Так вот: во сколько раз она станет толще?
— Поскольку уравнение гиперболы дает для игрека величины, обратные иксу, то ясно, что для абсциссы «один» мы и ординату получаем «один», а для абсциссы «три» мы получаем «одну третью». Опираясь на уравнение гиперболы, я утверждаю, что наша полоска должна, если ее перенести от абсциссы «один» к абсциссе «три», стать толще в три раза, ибо одна треть в три раза меньше единицы. По-моему, иначе быть не может.
Немедленно тончайшая ртутная ниточка сложилась втрое и быстро двинулась направо. Действительно, когда она добралась до абсциссы «три», она стала той длины, какой в этом месте была ордината гиперболы.
— 368 —
— Ясно, — сказал Илюша.
— А далее, — спросил Радикс, — если взять еще одну тончайшую полоску, которая будет стоять рядом с первой, то с ней что будет?
— Я не могу сообразить сразу, как это будет, — отвечал мальчик, — но мне кажется, что если бы мы взяли целый полк тончайших полосок и стали их так перемещать…
Площадь.
— А ведь когда я перемещал целый трапецоид, я именно это и делал! — заметил Радикс.
— Ах да! — спохватился Илюша. — Разумеется. Но я уж буду пока по-своему рассуждать. Итак, ты перемещаешь, скажем, две полоски, они стоят рядом… а стало быть, если первая, сложившись втрое, попадет в абсциссу «три», то ведь и вторая полоска очутится на расстоянии втрое более дальнем, а следовательно, и ей придется сложиться опять-таки втрое. А если это так, то очевидно, что и любая (то есть третья, четвертая, пятая и так далее) полоска тоже должна будет потолстеть при таком перемещении ровно втрое. А тогда и все они вместе, то есть вся площадь трапецоида, тоже должны будут стать втрое толще. И теперь понятно, почему ртуть заняла площадь от «трех» до «шести» по абсциссе.
— Превосходно! — ответствовал Радикс.— Ну, а скажи мне, что будет, если я возьму площадку от икса, равного единице, до икса, равного некоторому n, и перенесу ее опять направо,
— 369 —
так, чтобы ее начало совпадало с иксом, равным какому-то m?
— Придется растянуть всю эту площадку в m раз. И она тогда займет расстояние по абсциссе от m до mn.
— Итак, — продолжал Радикс, — допустим теперь, что я возьму одну площадочку от «один» по абсциссе до «два». И теперь я хочу к ней пристроить сбоку, справа, еще одну точно такую же, то есть удвоить мою площадку. Затем, когда я пристрою вторую, я захочу пристроить третью, снова той же самой величины, то есть утроить первоначальную площадку. Затем пристрою четвертую, пятую и так далее. И все они должны быть равновеликими. Ну, что из этого получится?
Илюша задумался на минутку, а потом сказал так:
— А может, мне снова поможет наше рассуждение со ртутью? Если трапецоид перенести от абсциссы «один» к абсциссе «два», то ясно, что он растянется вдвое. Следовательно, и вторая пристраиваемая площадочка будет длинней по абсциссе, то есть продолжится от абсциссы «два» до абсциссы «четыре». Третья пристраиваемая площадка будет вдвое длиннее второй и займет место до абсциссы «восемь», а четвертая — вдвое длинней третьей, пятая — вдвое против четвертой и так далее. Значит, если начинать всегда от абсциссы «один» и брать первоначальную площадку, кончающуюся у абсциссы «два», то площадка, вдвое большая по площади, кончится у абсциссы «четыре», вчетверо большая по площади — у абсциссы «шестнадцать», впятеро большая — у абсциссы «тридцать два», и так далее, и так далее. Да ведь это выходит геометрическая прогрессия, раз каждая площадка вдвое длинней по абсциссе. Вот в чем дело! Площади в арифметической прогрессии, конечные абсциссы — в геометрической.